Master Theorem
Master theorem provides a solution in asymptotic terms to solve time complexity problem of most divide and conquer algorithms.
Recurrence relations of the form:
T(n) = a T(n/b) + f(n) where a >= 1 and b > 1
Case 1:
f(n) = O(nc) where c < logb a
Then: T(n) = Θ(nlogb a)
Case 2:
f(n) = Θ(nc logkn) where c = logb a
Then: T(n) = Θ(nc logk+1n)
Case 3:
f(n) = Ω(nc) where c > logb a
a f(n/b) <= k f(n) for some constant k < 1 and sufficiently large n
Then: T(n) = Θ(f(n))
Examples
1. T(n) = 2 T(n/2) + n2
a = 2, b = 2, f(n) = n2 -> c = 2 > logb a
And 2 (n2 / 4) <= k n2, choosing k = 1/2
2. Binary Search
T(n) = T(n/2) + O(1)
T(n) = O(log n)
3. Merge Sort
T(n) = 2 T(n/2) + O(n)
T(n) = O(n log n)
Notes
There are some conditions where we cannot apply master theorem.
1. a < 1 or b < 1
2. f(n) is not positive
3. f(n) = n / (log n)
Because 1/(log n) < nε for any constant ε > 0.
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