概率dp部分题目

记录一些比较水不值得单独写一篇blog的概率dp题目

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bzoj3036 绿豆蛙的归宿

Description

随着新版百度空间的下线，Blog宠物绿豆蛙完成了它的使命，去寻找它新的归宿。

给出一个有向无环的连通图，起点为1终点为N，每条边都有一个长度。绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有K条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为\(\frac{1}{K}\) 。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少？

Input

第一行: 两个整数 N M，代表图中有N个点、M条边

第二行到第 1+M 行: 每行3个整数 a b c，代表从a到b有一条长度为c的有向边

Output

从起点到终点路径总长度的期望值，四舍五入保留两位小数。

Hint

对于100%的数据,\(N\leq 100000,M\leq 2N\)

写题那天bzoj又又又又又炸了，这放的是一个dbzoj的链接

话说今天上午做[SCOI2008]奖励关那题，顺推逆推好久弄不明白，做个水题放松一下

直接设状态\(f_i\)是从\(i\)到\(n\)的路径长度期望

dfs的时候直接把每种路径的长度和加起来，再除以它的出度就行了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	int x=0,y=1;
	char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
int n,m;
double f[100006];
int vis[100006],out[100006];
int fir[100006],nex[200005],to[200006],w[200006];
void dfs(int x){
	if(vis[x]) return;
	vis[x]=1;
	for(reg int v,i=fir[x];i;i=nex[i]){
		v=to[i];
		dfs(v);
		f[x]+=f[v]+w[i];
	}
	if(out[x]) f[x]/=out[x];
}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(reg int x,y,z,i=1;i<=m;i++){
		x=read();y=read();z=read();
		to[i]=y;w[i]=z;
		nex[i]=fir[x];fir[x]=i;
		out[x]++;
	}
	dfs(1);
	std::printf("%.2lf",f[1]);
	return 0;
}

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CF 518D

有\(n\)个人排成一列，每秒中队伍最前面的人有\(p\)的概率走上电梯（一旦走上就不会下电梯），或者有\(1 - p\)的概率不动。问你\(T\)秒过后，在电梯上的人的期望。

转换为求概率，设\(f_{i,j}\)为时间为\(i\)，电梯上有\(j\)个人的概率

那么很显然，\(f_{i,j}p\rightarrow f_{i+1,j+1},f_{i,j}(1-p)\rightarrow f_{i+1,j}\)

最后统计成期望就行了

但还有一点，就是如果当前已经有\(n\)个人在电梯上了，不会走下来，就要\(f_{i+1,n}+=f_{i,n}\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	int x=0,y=1;
	char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
int n,t;
double p;
double f[2006][2006];//时间为i，电梯上有j人的概率
int main(){
	std::scanf("%d%lf%d",&n,&p,&t);
	f[1][0]=1-p;f[1][1]=p;
	for(reg int i=1;i<t;i++){
		f[i+1][n]+=f[i][n];
		for(reg int j=0;j<n;j++)
			f[i+1][j]+=f[i][j]*(1-p),
			f[i+1][j+1]+=f[i][j]*p;
	}
	reg double ans=0;
	for(reg int i=1;i<=n;i++) ans+=i*f[t][i];
	std::printf("%lf",ans);
	return 0;
}