Mutual Training for Wannafly Union #9

A(SPOJ NPC2016A)

题意：给一个正方形和内部一个点，要求从这个点向四边反射形成的路线的长度

分析：不断做对称，最后等价于求两个点之间的距离

B(CF480E)

题意：求01矩阵内由0组成的最大正方形，但这里有修改操作，每次操作把一个0位置修改成1。矩阵大小<=2000*2000，操作次数<=2000

分析：离线倒序+悬线法+单调队列维护

　　　首先离线，倒着从前往后做

　　　先预处理每个0位置向上、向下最多能延展多少

　　　对于修改就暴力修改，时间复杂度是O(kn)的

　　　问题是如何维护询问的结果

　　　注意到每次修改了一个位置(x,y)，那么目前最大的边长一定在第x行产生

　　　我们需要快速维护一个行x的每一段区间向上、向下最多能形成多大的正方形

　　　每次从左往右扫描，得到一个[l,r]，表示正方形的左右边界

　　　从小到大枚举l，发现r是单调的，所以这个东西是可以用单调队列来维护的

　　　时间复杂度O(nm+kn+km)

　　　思考：为什么需要倒序？（因为倒序之后的操作变成了删除一个点(x,y)，那么可能的最大正方形一定可以由第x行信息求到，如果顺序的话，相当于把一个正方形裂开，就无法处理了）

　　　事实上，如果正序的话，要想保证结果的正确性，应该要对每个行都做一次扫描，不过那样时间复杂度就和暴力一样了

　　　有个很巧妙的做法，就是对行分治，分成上面和下面，上面单独做，下面单独做，合并的话就以分界线扫描一次就ok了

　　　这样时间复杂度是O(nm+kn+kmlogn)，多带一个log，也是能过的

C(CF193B)

题意：有4个长度为n(n<=30)的数组a[],b[],k[],p[],和一个给定的常数r，其中p[]是一个排列，以及操作的总次数u

　　　有两种操作：

　　　　操作1：ai^=bi

　　　　操作2：ai=a[pi]+r

　　　现在要在u次操作的情况下最大化Σai*ki

分析：搜索+剪枝

　　　范围很小，想到搜索

　　　但是爆搜是不行的O(n2^n)是超时的

　　　发现异或的相消性，偶数个操作1连一起就会消失

　　　考虑这样一个变长序列：1 2 2 1 2 ……

　　　其中不能有相邻的1，一个1代表着一段奇数个操作1

　　　这种序列在极端情况下f(30)的方案数可以通过递推式f(i)=f(i-1)+f(i-2)求得，是8e6级别的，是可以接受的

　　　还剩一个问题，如何知道这个变长序列对应的长度是u呢？

　　　其实只要u和len奇偶性相同就行了

D(CF346B)

题意：求s1和s2的最长公共子序列，但是这个最长公共子序列不能有子串是virus，三个串长度都小于等于<=100

分析：dp+next转移

　　　dp[i][j][k]表示s1的前i个字符，s2的前j个字符，和病毒串匹配到第k位的最长公共子序列长度

　　　通过预处理next转移一下就行了

　　　此题细节很多，而且需要输出方案，debug了好久

E(CF346A)

题意：给出一组数(n<=100)，两个人博弈，每次从中选出两个数x,y，要使得|x-y|不在序列中出现，然后把|x-y|加入序列，不能操作的人就输了，问先手赢还是后手赢？

分析：数学分析

　　　首先这个游戏肯定持续的轮数是固定的，根据这个奇偶就可以判断谁赢，所以问题的关键是求游戏进行多少轮

　　　每次取两个数相减，发现这其实是辗转相减，最后会剩下两个数的最大公约数

　　　那么什么时候不能操作呢？

　　　就是最后的序列是d 2d 3d 4d .... md这时候，就无法操作了

　　　容易知道这个d就是初始所有数的gcd

　　　那么轮数就是m-n了，那么m怎么求呢？

　　　m当然就是最大数/d了……

　　　从而得出了一个神奇的结论？（定理？）——两个互质的素数p,q(p<q)，放到一个序列里，从这个序列取出两个数相减，最后会得到1~q之间所有整数

F(319A)

题意：求一个序列的逆序对数（对1e9+7取模），这个序列是ai=i xor x (x是输入的常数，是一个100位以内的二进制数）

分析：递推

　　　考虑从低位向高位递推

　　　f(i)表示前i位逆序对数

　　　那么对于第i+1位，如果x[i+1]=0，这说明对于之前的0~2^i-1个没有影响，而后面2^i~2^(i+1)-1其实相当于是copy前面，只不过最高位是1

　　　所以此时f(i+1)=2*f(i)

　　　那么如果x[i+1]=1，这时候相当于把0~2^i-1放到后面的一半区间，2^i~2^(i+1)-1放到前面的一半区间（内部状态还是copy的），前面部分和后面部分形成了多余的逆序对

　　　所以f(i+1)=2*f(i)+2^i * 2^i