1120: 划分数

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Description

有n个无区别的物品,将它们划分成不超过m组,求出划分方法数模M的余数。

限制条件

1 <= m <= n <= 1000

2 <= M <= 10000

Input

每组测试数据输入一行n, m, M。

Output

输出划分数模M的余数。

Sample Input

42 468 6335

Sample Output

2494

HINT

组合数学

Source

可以将问题转变成x1+x2+x3+x4+x5+x6+.....xk+.....xm=n; <=xk;
这类问题一般有这样的限制:每个数的最大值,最小值,每个数是否可以相同.
相当于求不定方程x的非负整数解,但是n等于4时1 2和1 1根据题意,物品是相同的,所以这两种是一样的,
所以不能用校赛那道球放盒子的那种方式,
(考虑第i个盒子,放k个,d[i][j]+=d[i-][j-k];<=k<=m),
从整体进行考虑,对于每一个减去1,由于最小数可能为0,所以有两种情况,一种是最小数为0,一种是最小数为1,
d[m][n]=d[m][n-t]+d[m-][n],最小数为1,减去一,最小数为0,直接去掉0。,初始化d[][]=,
这种方式为什么可以去重呢?
当有多个最小值为0时,由于去0时没有考虑去掉的是哪一个,所以去0操作跟位置没有关系。
(最小数为0,可能有多个,假设是k个,去k次,跟位置无关,去k次就可去完)
假设这个数是0,0,2,不考虑位置的去0,所以可以去重.
将n个数划分为m个不同的正整数解,且最大值小于n
  f1[t][x]=f[t][x-t]+f[t-][x-t]-f[t-][x-(n+)]
将n个数划分为m个不同的正整数解      
  f2[t][x]=f2[t][x-t]+f2[t-][x-t]
下面这两种情况去掉了1 2和1 1类似的重复情况。  
将n个数划分为m个非空集合     
   f3[t][x]=f[t][x-t]+f[t-][x-]
  (最小数为1,去掉一个,如果最小数有多个,由于没有考虑去掉的是哪一个,所以1 , 1是相同的情况)
将n个数划分为m个可为空的集合     
  d[m][n]=d[m][n-m]+d[m-][n]
  (最小数为0,可能有多个,假设是k个,去k次,跟位置无关,去k次就可去完)
   d[m][n]=f3[][n]+f3[][n]+f3[][n]+.....f[k][n]+....f[m][n];
扩展问题:
    有n种物品,第i种物品有a[i]个,不同种类的物品可以互相取分,但相同种类的无法区分,
    从这些物品中取出m个的话,有多少种取法?
解法1
      d[i+][j]
      代表将前i种物品中取出j个,并且每种物品最多去a[i]个,
    d[i+][j]+=d[i][j-k] <=k<=min(j,a[i]);
解法2
    d[i+][j]=d[i+][j-]-d[i][j--a[i]]+d[i][j]
    要求得是从前i个物品中取出j个的方案数,由于此题中1 1 2和1 2 1这两种是不同的,
    所以不用考虑重复,这样就不能给每个数都减去1,我们可以考虑给第i个数减去1,
    a:  当第i个数>=1时,d[i+1][j-1]等于d[i+1][j],然而第i个数的最大值要小于等于a[i],
      再正着看回去,d[i+1][j-1]肯定满足条件,如果给它的第i个数等于a[i],加上1之后,
       d[i+1][j]就不满足条件了,所以需要减去d[i][j-1-a[i]];
    b: 当第i个数等于0时,d[i][j]=d[i+1][j].
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
#define maxn 1100
int n,m,MOD;
int d[maxn][maxn];
void init()
{
memset(d,,sizeof(d));
/* for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
d[i][1]=1;
d[i][0]=1;
}*/ }
void solve()
{
d[][]=;
for(int i=;i<=m;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
{
if(j>=i)
d[i][j]=(d[i][j-i]+d[i-][j])%MOD;
else
d[i][j]=d[i-][j]%MOD;
}
printf("%d\n",d[m][n]);
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD))
{
init();
solve();
}
return ;
}

扩展问题的代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 1100
int n,m;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int MOD;
void init()
{
// memset(a,0,sizeof(a));
// memset(dp,0,sizeof(dp));
}
void solve()
{
for(int i=;i<=n;i++)
dp[i][]=; for(int i=;i<n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
{
if(j--a[i] >= )
{
dp[i+][j]=(dp[i+][j-] + dp[i][j] -dp[i][j--a[i] ] + MOD) %MOD;
}
else
dp[i+][j]=(dp[i+][j-] + dp[i][j] ) %MOD;
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=m;j++)
printf("%d ",dp[i][j]);
printf("\n");
}
}
int main()
{
// freopen("test.txt","r",stdin);
while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD))
{
init();
for(int i=;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
solve();
}
return ;
}

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