牛客网 暑期ACM多校训练营（第一场）A.Monotonic Matrix-矩阵转化为格子路径的非降路径计数，Lindström-Gessel-Viennot引理-组合数学

牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）

A.Monotonic Matrix

这个题就是给你一个n*m的矩阵，往里面填{0,1,2}这三种数，要求是A_i,j⩽A_i+1,j，A_i,j⩽A_i,j+1 ，问你一共有几种填法。

变形一下就会发现其实是走非交叉格子路径计数，限制条件下的非降路径问题。就是从左上到右下走格子路径。从上到下为0——n，从左到右为0——m。

考虑 01 和 12 的分界线，是 (n, 0) 到 (0, m) 的两条不相交（可重合）路径，因为起点重合了，所以把其中一条路径往左上平移了一格，平移其中一条变成 (n-1, -1) 到 (-1, m-1) 变成起点 (n, 0) 和 (n-1, -1)，终点 (0, m) 和 (-1, m-1) 的严格不相交路径。可以想一下，分界线将格子图分成三部分，从左上到右下依次为0,1,2。(不好意思，史诗灾难级灵魂脱壳画手。。。)

叉姐说套Lindström–Gessel–Viennot引理:

就可以得到公式: (C_{n+m, n}) ² - C_{n+m, m - 1} *C_{n+m, n-1}。

通过组合数求解的模板，就可以了。

关于Lindström–Gessel–Viennot引理，具体的不清楚，有兴趣的自己去看吧。

和本题有关的传送门:

1.格子图中具有一定限制条件的非降路径数

2.非降路径问题

3.392-非降路径问题

4.Lindström–Gessel–Viennot lemma 应用两则

5.Lindström–Gessel–Viennot lemma

两份代码：一份自己的垃圾代码，一份叉姐的官方题解标程

代码:(我的)

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=1e5+;
 const ll MOD = 1e9+;
 ll F[N], Finv[N], inv[N];
 void init()
 {
     inv[] = ;
     for(ll i = ; i < N; i ++)
     {
         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
     }
     F[] = Finv[] = ;
     for(ll i = ; i < N; i ++)
     {
         F[i] = F[i-] * 1ll * i % MOD;
         Finv[i] = Finv[i-] * 1ll * inv[i] % MOD;
     }
 }
 ll comb(ll n, ll m)//c(n,m);
 {
     if(m <  || m > n) return ;
     return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
 }
 int main()
 {
     init();
     int n,m;
     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
         ll cnt1=comb(n+m,n)*comb(n+m,n);
         ll cnt2=comb(n+m,m-)*comb(n+m,n-);
         ll ans=((cnt1-cnt2)%MOD+MOD)%MOD;
         cout<<ans<<endl;
     }
 }

代码:(叉姐的官方标程)

 #include <bits/stdc++.h>

 const int MOD = 1e9 + ;

 const int N = ;

 int dp[N][N];

 void update(int& x, int a)
 {
     x += a;
     if (x >= MOD) {
         x -= MOD;
     }
 }

 int sqr(int x)
 {
     return 1LL * x * x % MOD;
 }

 int main()
 {
     dp[][] = ;
     for (int i = ; i < N; ++ i) {
         for (int j = ; j < N; ++ j) {
             if (i) {
                 update(dp[i][j], dp[i - ][j]);
             }
             if (j) {
                 update(dp[i][j], dp[i][j - ]);
             }
         }
     }
     int n, m;
     while (scanf("%d%d", &n, &m) == ) {
         printf("%d\n", static_cast<int>((sqr(dp[n][m]) + MOD - 1LL * dp[n - ][m + ] * dp[n + ][m - ] % MOD) % MOD));
     }
 }

溜了溜了。