标准正态分布表

正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。

一、标准正态分布

标准正态分布是正态分布的标准化。正态分布是一个在数学，物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

1.1 正态分布

若随机变量$X$服从一个数学期望为$\mu$、方差为$\sigma^2$的正态分布，记为$X∼N(\mu,{\sigma}^2)$，英文命名为Normal distribution，也就是典范规范分布。其概率密度函数为正态分布的期望值$\mu$决定了其位置，其标准差$\sigma$决定了分布的幅度，如下图所示。

它的密度函数为

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-(x-\mu)^{2}/{2\sigma^2}}
\]

该密度函数包含两个最重要的数学常量：自然对数的底数$e$和圆周率$\pi$。参数$\mu,\sigma^2$有明确的含义，分别是该分布的均值和方差。同时它的密度函数曲线如上图所示，被称为钟形曲线。

它的分布函数为

\[F(x) = P(f(t) \leq x) =\int_{-\infty}^x{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}}dt
\]

1.2 正态分布的性质

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

1.3 标准正态分布

在正态分布函数中，当 $\mu =0,\sigma =1$时,就服从标准正态分布，标准正态分布概率密度函数为：

\[\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^{2}/2}
\]

\[\Phi(x) = P(\phi(x) \leq x) =\int_{-\infty}^x{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-t^{2}/2}}dt
\]

基于正态分布的对称性，当$x\lt 0$时，有

\[\Phi(x) =1- \Phi(-x)
\]

后面仅考虑$x\gt 0$的情形。

正态分布的标准化

正态分布可通过变换$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma }$$化为标准正态分布。

正态分布的$3\sigma$区域

1.4 正态分布的上侧$\alpha$分位数

设X的密度函数为$f(x)$，对于任给的$\alpha$(0<$\alpha$<1)，称满足$$P(f(x)\ge Z_\alpha)$$的点${Z_\alpha}$为该分布函数的上侧$\alpha$分位数。

标准正态分布的上侧$\alpha$分位数${Z_\alpha}$：

\[\alpha = P(\phi(x) \ge Z_\alpha) =\int_{Z_\alpha}^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-t^{2}/2}}dt
\]

分位数中$\alpha$代表概率，${Z_\alpha}$代表随机变量值，$\alpha$其实是随机变量大于${Z_\alpha}$的概率。分位数可以查标准正态分布表，在正态分布表中找$\alpha$,对应查出${Z_\alpha}$。

二、标准正态分布表

标准正态分布表就是分位数表，有的是下侧分位数表，有的是上侧分位数表，这里采用上侧分位数建表。

#计算上侧分位数的概率

options(digits = 6)

u=seq(0,3.09,by=0.01)

p=pnorm(u)

m=matrix(p,ncol=10,byrow=TRUE)

m1=1-m

plot(u,dnorm(u),lwd=2,col="blue")

#head(m1)

#编辑了表头，行名表示分位数小数点后一位前的所有数，列名表示分位数小数点后第二位的数值。

         [0.00]   [0.01]   [0.01]   [0.03]   [0.04]   [0.05]   [0.06]   [0.07]   [0.08]   [0.09]

 [0.0] 0.500000 0.496011 0.492022 0.488034 0.484047 0.480061 0.476078 0.472097 0.468119 0.464144

 [0.1] 0.460172 0.456205 0.452242 0.448283 0.444330 0.440382 0.436441 0.432505 0.428576 0.424655

 [0.2] 0.420740 0.416834 0.412936 0.409046 0.405165 0.401294 0.397432 0.393580 0.389739 0.385908

 [0.3] 0.382089 0.378280 0.374484 0.370700 0.366928 0.363169 0.359424 0.355691 0.351973 0.348268

 [0.4] 0.344578 0.340903 0.337243 0.333598 0.329969 0.326355 0.322758 0.319178 0.315614 0.312067

 [0.5] 0.308538 0.305026 0.301532 0.298056 0.294599 0.291160 0.287740 0.284339 0.280957 0.277595

 [0.6] 0.274253 0.270931 0.267629 0.264347 0.261086 0.257846 0.254627 0.251429 0.248252 0.245097

 [0.7] 0.241964 0.238852 0.235762 0.232695 0.229650 0.226627 0.223627 0.220650 0.217695 0.214764

 [0.8] 0.211855 0.208970 0.206108 0.203269 0.200454 0.197663 0.194895 0.192150 0.189430 0.186733

 [0.9] 0.184060 0.181411 0.178786 0.176186 0.173609 0.171056 0.168528 0.166023 0.163543 0.161087

 [1.0] 0.158655 0.156248 0.153864 0.151505 0.149170 0.146859 0.144572 0.142310 0.140071 0.137857

 [1.1] 0.135666 0.133500 0.131357 0.129238 0.127143 0.125072 0.123024 0.121000 0.119000 0.117023

 [1.2] 0.115070 0.113139 0.111232 0.109349 0.107488 0.105650 0.103835 0.102042 0.100273 0.098525

 [1.3] 0.096800 0.095098 0.093418 0.091759 0.090123 0.088508 0.086915 0.085343 0.083793 0.082264

 [1.4] 0.080757 0.079270 0.077804 0.076359 0.074934 0.073529 0.072145 0.070781 0.069437 0.068112

 [1.5] 0.066807 0.065522 0.064255 0.063008 0.061780 0.060571 0.059380 0.058208 0.057053 0.055917

 [1.6] 0.054799 0.053699 0.052616 0.051551 0.050503 0.049471 0.048457 0.047460 0.046479 0.045514

 [1.7] 0.044565 0.043633 0.042716 0.041815 0.040930 0.040059 0.039204 0.038364 0.037538 0.036727

 [1.8] 0.035930 0.035148 0.034380 0.033625 0.032884 0.032157 0.031443 0.030742 0.030054 0.029379

 [1.9] 0.028717 0.028067 0.027429 0.026803 0.026190 0.025588 0.024998 0.024419 0.023852 0.023295

 [2.0] 0.022750 0.022216 0.021692 0.021178 0.020675 0.020182 0.019699 0.019226 0.018763 0.018309

 [2.1] 0.017864 0.017429 0.017003 0.016586 0.016177 0.015778 0.015386 0.015003 0.014629 0.014262

 [2.2] 0.013903 0.013553 0.013209 0.012874 0.012545 0.012224 0.011911 0.011604 0.011304 0.011011

 [2.3] 0.010724 0.010444 0.010170 0.009903 0.009642 0.009387 0.009137 0.008894 0.008656 0.008424

 [2.4] 0.008198 0.007976 0.007760 0.007549 0.007344 0.007143 0.006947 0.006756 0.006569 0.006387

 [2.5] 0.006210 0.006037 0.005868 0.005703 0.005543 0.005386 0.005234 0.005085 0.004940 0.004799

 [2.6] 0.004661 0.004527 0.004396 0.004269 0.004145 0.004025 0.003907 0.003793 0.003681 0.003573

 [2.7] 0.003467 0.003364 0.003264 0.003167 0.003072 0.002980 0.002890 0.002803 0.002718 0.002635

 [2.8] 0.002555 0.002477 0.002401 0.002327 0.002256 0.002186 0.002118 0.002052 0.001988 0.001926

 [2.9] 0.001866 0.001807 0.001750 0.001695 0.001641 0.001589 0.001538 0.001489 0.001441 0.001395

 [3.0] 0.001350 0.001306 0.001264 0.001223 0.001183 0.001144 0.001107 0.001070 0.001035 0.001001

例1: 查$Z_{0.025}$值，打开正态分布表，刚好能查到0.025对应的Z值为1.96，故$Z_{0.025}$=1.96；如果要查$Z_{\alpha}$=1.64对应的α值，那么打开正态分布表，可得$\alpha$=0.05（近似值或附近平均值）。

例2：查$Z_{0.95}$的值，可先查$Z_{0.05}$，完了根据对称性转化即可，得$Z_{0.95}$=-1.64。

三、总结

作为统计学的基础，我们会主要注重思维理解，复杂的数学计算在此略去。这并非意味着数学不重要，对数学的仔细专研恰恰会特别辅助理解和掌握。正态分布在统计中是非常常用的分布，例如在医学上，可以应用正态分布估计人体的某些生理指标，比如白细胞数的正常值范围，白细胞数在正常人群中近似服从正态分布。可以制定一个上限和下限，比如95%的人在正常范围之内，而超出这一范围的人，我们就认为需要对其进行特殊关注。还要注意：正态分布并不普适，有许多数据与正态拟合不好的情况，但我们仍可以利用其一些性质对数据进行一定的估计，以应对生产生活需要。在科研数据处理中要有选择性的择合适的方法（如其t分布等）进行检验；在数据处理时，正态分布也可以通过标准化处理，转化为标准正态分布。使用z=(X-μ)/σ将原始数据转化为标准分数。

参考文献

1.（一文搞懂“正态分布”所有重要知识点）[https://baijiahao.baidu.com/s?id=1681320912172746994&wfr=spider&for=pc]

2. (拓端tecdat|如何用R语言绘制生成正态分布图表)[https://blog.csdn.net/qq_19600291/article/details/105019489]