CF Round #829 题解 (Div. 2)

F 没看所以摆了 .

看拜月教教主 LHQ 在群里代打恰钱 /bx

目录

• A. Technical Support (*800)
• B. Kevin and Permutation (*800)
• C. Make Nonzero Sum (C1 *1300, C2 *1500)
• D. Factorial Divisibility (*1600)
• E. Wish I Knew How to Sort (*2000)

A. Technical Support (*800)

SoyTony 强啊 .

维护一个计数器，扫一遍遇到 \(\tt Q\) 加一，遇到 \(\tt A\) 减一，每次要小于 0 了就赋成 0，看一下最后计数器是否等于 0 即可 .

正确性显然 .

B. Kevin and Permutation (*800)

构造比较显然，不太好说，直接放代码 .

int main()
{
	int T, n; scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d", &n);
		for (int i=n; i>=1; i--)
		{
			if (i & 1 ^ 1) printf("%d ", 1+(i-1)/2);
			else printf("%d ", 1+i/2+n/2);
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}

C. Make Nonzero Sum (C1 *1300, C2 *1500)

C1, C2 是一样的 .

首先任何一种拆分方案都可以化成等价的只用长度为 1 和 2 的区间的方案 .

就是对于偶数，两两分，对于奇数再分一个 1 出来即可 .

这样就证明了用 1, 2 构造方案如果构不出来一定无解 .

然后先求一下序列之和然后贪心地选一些不相邻的幸运元素乘上 \(-1\) 即可完成构造 .

听 SoyTony 说似乎比较难写？那我放下代码 .

const int N = 222222;
int n, a[N];
int main()
{
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d", &n); int s = 0;
		for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", a+i), s += a[i];
		int k=0;
		string ans;
		char tmp[114514];
		for (int i=1; i<=n; i++)
		{
			if ((s * a[i+1] > 0) && (i != n)){sprintf(tmp, "%d %d\n", i, i+1); ++k; ++i; s -= 2 * a[i];}
			else{sprintf(tmp, "%d %d\n", i, i); ++k;}
			ans += tmp;
		}
		if (s){puts("-1"); continue;}
		else printf("%d\n%s", k, ans.c_str());
	}
	return 0;
}

D. Factorial Divisibility (*1600)

感性理解一下，直接暴力合并判断 .

具体的，

const int N = 522222;
int n, k, a[N], z[N];
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i=1; i<=n; i++) ++z[read<int>()];
	for (int i=1; i<k; i++)
	{
		z[i+1] += z[i] / (i+1);
		if (z[i] % (i+1)){puts("No"); return 0;}
	}
	puts("Yes");
	return 0;
}

E. Wish I Knew How to Sort (*2000)

令序列中有 \(c\) 个 \(0\)，目前前 \(c\) 个数有 \(x\) 个 \(1\)，然后要排序就需要 \(x\) 次有效交换 .

减少一个 \(1\) 的概率是 \(\dfrac{x^2}{\dbinom n2}\)

令 \(dp_i\) 还剩 \(i\) 次有效交换的的期望，则

\[dp_{i-1}=\frac{i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}\times f_i+\frac{\frac{n(n-1)}{2}-i^2}{\frac{n(n-1)}{2}}\times dp_{i-1}+1
\]

移项，经过化简可以得到答案是 \(\displaystyle\dbinom n2\sum_{i=1}^x\dfrac1{i^2}\) .

暴力算一下就是 \(\Theta(n)\) 的 .