算法学习笔记(9): 中国剩余定理(CRT)以及其扩展(EXCRT)

扩展中国剩余定理

讲解扩展之前，我们先叙述一下普通的中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理通过一种非常精巧的构造求出了一个可行解

但是毕竟是构造，所以相对较复杂

\[\begin{cases}
x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\
x \equiv a_3 \pmod{m_3} \\
\dots \\
x \equiv a_n \pmod{m_n}
\end{cases}
\]

对于上述同余方程组，首先需要满足 \(m_1, m_2, m_3, \dots, m_n\) 互质

令 \(m = \prod_{i=1}^{n} m_i, M_i = m / m_i,\ t_i\) 是线性同余方程 \(M_it_i \equiv 1 \pmod {m_i}\) 的一个解

那么上述方程组有整数解，为 \(x = \sum_{i=1}^n a_iM_it_i\)

---

证明：

由于所有 \(m_i\) 互质，所以 \(M_i = m/m_i\) 是除了 \(m_i\) 之外的所有模数的倍数，所以 \(\forall j \ne i, a_iM_it_i \equiv 0 \pmod {m_k}\)

所以代入 \(x = \sum_{i=1}^n a_iM_it_i\)，原方程组成立

---

中国剩余定理给出了方程的一个特解。通解可以表示为 \(x + km (k \in \Z)\)。如果需要求最小的非负整数解，只需要让 \(x\) 对于 \(m\) 取模就是。

参考代码

【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 - 洛谷

#include <iostream>

typedef long long ll;

ll m[11], a[11], Mm[11], y[11];

// 扩展欧几里得算法，由于求出线性同余方程 Mi * ti = 1 (mod p) 的一个特解
// 上述同余式可以转化为 Mi * ti + k * p = 1
// 所以跑一个 extgcd(Mi, p, ti, k) 即可 （k没有用的）
void extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    extgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
}

int main() {
    int n; scanf("%d", &n);

    ll M(1);
    // 这里读入，并求出m
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lld%lld", m + i, a + i);
        M *= m[i];
    }

    // 求出Mi
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Mm[i] = M / m[i];
    }

    // 求出每一个不定方程的特解
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ll x, tmp, mi = m[i];
        extgcd(Mm[i], mi, x, tmp);
        y[i] = (x + mi) % mi;
    } 

    // 求和获得最小正整数解
    ll x(0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        x = (x + a[i] * Mm[i] * y[i]) % M;
    }

    printf("%lld\n", x);
    return 0;
}

扩展中国剩余定理

还是考虑上述式子

\[\begin{cases}
x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\
x \equiv a_3 \pmod{m_3} \\
\dots \\
x \equiv a_n \pmod{m_n}
\end{cases}
\]

此时，我们不保证 \(m_i\) 不一定两两互质，所以中国剩余定理不再适用

所以扩展中国剩余定理就开始发挥作用了

虽然说是扩展……但是两者思路很不一样

扩展中国剩余定理采用数学归纳法，或者说两两合并法

假如我们需要合并方程

\[x \equiv a_1 \pmod {m_1}
\]

\[x \equiv a_2 \pmod {m_2}
\]

我们将同余式改写

\[k_1m_1 + a_1 = x
\]

\[k_2m_2 + a_2 = x
\]

将两者相减，整理后可得

\[k_1m_1 - k_2m_2 = a_2 - a_1
\]

由于我们已知 \(m_1, m_2, a_1, a_2\)，也就是说我们只需要知道 \(k_1, k_2\) 其中任意一个，就可以求出这时的 \(x\) 是个什么东西了

所以，联想到了……扩展欧几里得算法

可以参考文章：算法学习笔记(1): 欧几里得算法及其扩展

我们令

\[\begin{aligned}
d &= gcd(m_1, m_2) \\
c &= a_2 - a_1
\end{aligned}
\]

那么化简一下有：\(k_1 m_1 - k_2 m_2 = c\)

所以我们求出 \(k_1' \frac {m_1}d + k_2' \frac {m_2}d = 1\)

那么换回去之后

\[\begin{aligned}
k_1 &= k_1' \frac cd \\
k_2 &= -k_2' \frac cd
\end{aligned}
\]

由于 exgcd(a, b, x, y) 求出的是 xa + yb = gcd(a, b) 的一组解……所以需要 \(\frac cd\)

令 \(l = lcm(m_1, m_2) = m_1 m_2 / gcd(m_1, m_2)\)

那么此时 \(x \equiv k_1' m_1\frac cd + a_1 \pmod l\)

也就是可以得到 \(x\) 的一个解集 \(x \in X = \{kl + x|k \in \R\}\)

也就是说，我们将上述两个式子合并成了

\[x \equiv k_1' \frac cd m_1 + a_1 \pmod {lcm(m_1, m_2)}
\]

那么考虑代码怎么写

typedef int data; // 方便换成long long

// 扩展欧几里得算法
inline data exgcd(data a, data b, data &x, data &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    data r = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return r;
}

// 最终的合并的结果会放在 a1, m1上
// 每一部分我会在后文详细的解释
inline bool merge(data& a1, data& m1, data a2, data m2) {
    // section1: 为了防止溢出，需要适当的取模
    data c = (a2 - a1) % m2;
    if (c < 0) c += m2;

    // section2: 通过拓展欧几里得算法求出上文中的 s = k1'
    data d = gcd(m1, m2), s, t;
    exgcd(m1 / d, m2 / d, s, t);

    // +section2.5: 判断是否有解
    if (c % d) return false;

    // section3: 这里将s转化为上文中的 k
    s = s / * c % m2;
    if (s < 0) s += m2;

    // section4: 正式合并
    data lcm = m1 / d * m2;
    a1 = (a1 + s * m1) % lcm;
    if (a1 < 0) a1 += lcm;
    m1 = lcm;
    return true;
}

?：为什么在前三个部分放在了模 \(m2\) 的情况下计算

为了避免溢出，我们需要将 \(s\) 转化为最小的正整数解

那么需要有代码 (s % (m2 / d) + m2 / d) % (m2 / d)

考虑到其实并不需要最小……所以为了方便，就直接是(s % m2 + m2) % m2

考虑优化第二个模运算（贼慢），所以换成了if语句，就是上面代码的写法

那么第一个部分为什么也可以取模呢？

考虑我们在第三部分放在了模 \(m_2\) 的意义下，所以我们可以把整个不定方程组放在模 \(m_2\) 的意义下，所以就可以把 \(c\) 对于 \(m_2\) 取模

?: 为什么在第二部分需要提前算出 \(gcd(m_1, m_2)\)

其实是不用的……只需要 data s, t; data d = exgcd(m1, m2, s, t);也可以算出正确答案……

?: 判断有解是如何判断的

有无解实际上就是拓展欧几里得算法有无解

而判断拓欧算法有无解，也就通过贝祖定理验证

也就是说，对于不定方程 ax + by = c

如果 gcd(x, y) | c 则有解，否则无解

【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） - 洛谷

NOTICE：在模板题上，由于可能会溢出……至于什么地方需要用龟速乘，请读者自行揣度

关于龟速乘：算法学习笔记(2): 逆元及其应用我提过一点

更详细的参考 快速乘总结 - 一只不咕鸟