[Luogu 2805] NOI2009 植物大战僵尸

<题目链接>

这题是个比较经典的最大权闭合子图，可以建图转化为最小割问题，再根据最大流最小割定理，采用任意一种最大流算法求得。

对于每个点，如果点权w为正，则从源点到这个点连一条边权为w的有向边；否则如果w为负则从这个点到汇点连一条有向边。加边的时候预处理出反图的每个点入度。

其次，每一个被保护的点到保护它的点连一条边权为INF的有向边。

注意同一行的左侧点受到右侧点的间接保护，因此对于每一个不位于当前行最右的点，都要向其右侧的一个点连一条INF有向边（连一条即可，不必连所有）。

初始化完成后，在反向图（惯用链式前向星的表示，在跑最小割之前，边权为0的边就是反向图的边）上拓扑排序，删去在环中的点，留下有效点。

然后在建的这个图上跑最小割。

最终的答案为：源点到「与源点相连的所有有效点」的边权和减去网络最小割。

建模是个好能力，希望包括我在内的每一个OIer都能通过不懈努力获得。

加油。

#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN=10000,MAXM=900000;
bool exist[MAXN]/*拓扑排序有效点标记*/,vis[MAXN];
int n,m,N,S,T,cnt,ans,head[MAXN],cur[MAXN]/*当前弧*/,inn[MAXN]/*反图入度*/,dis[MAXN]/*层次图*/;
struct edge
{
	int nxt,to,w;
}e[MAXM];
void AddEdge(int x,int y,int w)
{
	e[++cnt].nxt=head[x];
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].w=w;
	head[x]=cnt;
}
void AddEdges(int x,int y,int w)
{
	AddEdge(x,y,w);
	AddEdge(y,x,0);
	++inn[x];//预处理反图入度
}
void T_Sort(int S)
{
	queue<int> q;//栈或队列都可以（优先队列或者手写堆其实也没问题）
	for(int i=S;i<=T;++i)
		if(!inn[i])
			q.push(i);//入度为0的入队
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		exist[x]=1;
		for(int i=head[x],t;i;i=e[i].nxt)
			if(!e[i].w && !--inn[t=e[i].to])
				q.push(t);
	}
	for(int i=head[S];i;i=e[i].nxt)
		if(!inn[e[i].to])
			ans+=e[i].w;//事先累加源点到「与源点相连的所有有效点」的边权
}
bool BFS(int S)
{
	queue<int> q;
	memset(dis,0,sizeof dis);
	memset(vis,0,sizeof vis);
	q.push(S);
	vis[S]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x],t;i;i=e[i].nxt)
			if(e[i].w && exist[t=e[i].to] && !vis[t])
			{
				vis[t]=1;
				dis[t]=dis[x]+1;
				q.push(t);
			}
		if(vis[T])//已经处理到汇点就退出
			return 1;
	}
	return 0;
}
int DFS(int x,int k)
{
	if(x==T)
		return k;
	int tmp=0;//这个累加必须有，否则最后一个点会被卡掉。
	for(int i=cur[x],t,f;i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].w && exist[t=e[i].to] && dis[t]==dis[x]+1 && (f=DFS(t,min(k,e[i].w))))
		{
			cur[x]=i;
			e[i].w-=f;//当前边的边权
			e[((i-1)^1)+1].w+=f;//反向边的边权
			tmp+=f;
			k-=f;
		}
	if(!tmp)
		dis[x]=-1;//必须有的操作
	return tmp;
}
void Dinic(void)
{
	int f;
	while(BFS(S))//预处理层次图，直到无法间出层次图
		while(memcpy(cur,head,sizeof cur),f=DFS(S,INT_MAX))//跑DFS直到当前层次图上无法增广。
			ans-=f;//连接源点的边权和减去最小割
}
int main(int argc,char *argv[])
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	N=n*m,T=N+1;//N是总点数，T是汇点
	for(int i=1,w,k;i<=N;++i)
	{
		scanf("%d %d",&w,&k);
		if(i%m)//如果不是当前行最后一个点，就向右连一条边。
			AddEdges(i,i+1,INT_MAX);
		if(w>0)
			AddEdges(S,i,w);//连源点
		else if(w<0)
			AddEdges(i,T,-w);//连汇点
		for(int j=1,r,c;j<=k;++j)
		{
			scanf("%d %d",&r,&c);
			AddEdges(r*m+c+1,i,INT_MAX);//保护关系
		}
	}
	T_Sort(S);//拓扑排序
	Dinic();//最小割
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

谢谢阅读。