NOIp 数据结构专题总结 (2)：分块、树状数组、线段树

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分块

阅：《「分块」数列分块入门 1-9 by hzwer》

树状数组 Binary Indexed Tree

时间复杂度 每次操作 \(O(\log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。

Pure

下标从 1 开始。

ll t[N];

inline int lowbit(int x) {return x&-x; }

inline void update(int x, ll val) {
	for (; x<=n; x+=lowbit(x)) t[x]+=val;
}
inline ll sum(int x) {
	ll res=0;
	for (; x; x-=lowbit(x)) res+=t[x];
	return res;
}

2 Dimensions

void update(int x, int y, int z) {
    int i = x;
    while (i <= n) {
        int j = y;
        while (j <= m) {
            t[i][j] += z;
            j += lowbit(j);
        }
        i += lowbit(i);
    }
}

int sum(int x, int y) { // prefix
    int res = 0, i = x;
    while (i > 0) {
        int j = y;
        while (j > 0) {
            res += t[i][j];
            j -= lowbit(j);
        }
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

线段树 Segment Tree

时间复杂度 每次操作 \(O(\log n)\)，空间复杂度 \(O(4n)\)。

Standard

单点修改，区间求和：

#define lson k<<1, l, mid
#define rson k<<1|1, mid+1, r

int t[N<<2];

void modify(int k, int l, int r, int x) {
	if (l==r&&l==x) {++t[k]; return; }
	register int mid=l+r>>1;
	if (x<=mid) modify(lson, x);
	if (mid<x) modify(rson, x);
	++t[k];
}
int query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (x<=l&&r<=y) return t[k];
	register int mid=l+r>>1, res=0;
	if (x<=mid) res+=query(lson, x, y);
	if (mid<y) res+=query(rson, x, y);
	return res;
}

区间修改，区间求和：

ll t[N<<2], laz[N<<2];

inline void add(int k, int l, int r, ll val) {
	laz[k]+=val;
	t[k]+=(r-l+1)*val;
}
inline void pd(int k, int l, int r, int mid) {
	if (!laz[k]) return;
	add(lson, laz[k]), add(rson, laz[k]);
	laz[k]=0;
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y, ll val) {
	if (x<=l&&r<=y) {add(k, l, r, val); return; }
	int mid=l+r>>1;
	pd(k, l, r, mid);
	if (x<=mid) modify(lson, x, y, val);
	if (mid<y) modify(rson, x, y, val);
	t[k]=t[k<<1]+t[k<<1|1];
}
ll query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (x<=l&&r<=y) return t[k];
	int mid=l+r>>1; ll res=0;
	pd(k, l, r, mid);
	if (x<=mid) res+=query(lson, x, y);
	if (mid<y) res+=query(rson, x, y);
	return res;
}

有运算优先级：如同时支持区间乘和区间加，将标记设计为先乘 a 再加 b，那么区间加时直接加 b 即可，而区间乘时需要将 a 和 b 都乘上一个数。

int lazy[N<<2], sum[N<<2], lazy2[N<<2];

void build(int k, int l, int r) {
	lazy2[k] = 1;
	if (l==r) { sum[k] = data[l]; return; }
	int mid = l+r >> 1;
	build(k<<1, l, mid);
	build((k<<1)+1, mid+1, r);
	sum[k] = ((ll)sum[k<<1] + sum[(k<<1)+1]) % MOD;
}
void add(int k, int l, int r, int v) {
	lazy[k] = ((ll)lazy[k] + v) % MOD;
	sum[k] = (sum[k] + (ll)(r-l+1) * v) % MOD;
}
void mul(int k, int l, int r, int v) {
	lazy[k] = ((ll)lazy[k] * v) % MOD;
	lazy2[k] = ((ll)lazy2[k] * v) % MOD;
	sum[k] = ((ll)sum[k] * v) % MOD;
}
void pushdown(int k, int l, int r, int mid) {
	if (lazy2[k]!=1) {
		mul(k<<1, l, mid, lazy2[k]);
		mul((k<<1)+1, mid+1, r, lazy2[k]);
		lazy2[k] = 1;
	}
	if (lazy[k]) {
		add(k<<1, l, mid, lazy[k]);
		add((k<<1)+1, mid+1, r, lazy[k]);
		lazy[k] = 0;
	}
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (l>=x && r<=y) {add(k, l, r, v); return;}
	int mid = l+r >> 1;
	pushdown(k, l, r, mid);
	if (x<=mid) modify(k<<1, l, mid, x, y, v);
	if (y>mid) modify((k<<1)+1, mid+1, r, x, y, v);
	sum[k] = ((ll)sum[k<<1] + sum[(k<<1)+1]) % MOD;
}
void modify2(int k, int l, int r, int x, int y, int v) {
	if (l>=x && r<=y) {mul(k, l, r, v); return;}
	int mid = l+r >> 1;
	pushdown(k, l, r, mid);
	if (x<=mid) modify2(k<<1, l, mid, x, y, v);
	if (y>mid) modify2((k<<1)+1, mid+1, r, x, y, v);
	sum[k] = ((ll)sum[k<<1] + sum[(k<<1)+1]) % MOD;
}
int query(int k, int l, int r, int x, int y) {
	if (l>=x && r<=y) return sum[k];
	int mid = l+r >> 1, res = 0;
	pushdown(k, l, r, mid);
	if (x<=mid) res = ((ll)res + query(k<<1, l, mid, x, y)) % MOD;
	if (y>mid) res = ((ll)res + query((k<<1)+1, mid+1, r, x, y)) % MOD;
	return res;
}

标记永久化

对于树套树，主席树等使用到线段树的比较复杂的数据结构，打标记后 pushdown、pushup 是很费劲的。

思路：不下传标记；在路过该节点的时候把修改对答案的影响加上，来省去标记下放的过程。

zkw Segment Tree

int zkw; ll t[N<<2], laz[N<<2];

inline void update(int x, int y, ll val) {
	ll l=0, r=0, f=1;
	for (x+=zkw-1, y+=zkw+1; x^y^1; x>>=1, y>>=1, f<<=1) {
		t[x]+=val*l, t[y]+=val*r;
		if (~x&1) laz[x^1]+=val, t[x^1]+=val*f, l+=f;
		if (y&1) laz[y^1]+=val, t[y^1]+=val*f, r+=f;
	}
	for (; x; x>>=1, y>>=1) t[x]+=val*l, t[y]+=val*r;
}

inline ll query(int x, int y) {
	ll res=0, l=0, r=0, f=1;
	for (x+=zkw-1, y+=zkw+1; x^y^1; x>>=1, y>>=1, f<<=1) {
		if (laz[x]) res+=laz[x]*l;
		if (laz[y]) res+=laz[y]*r;
		if (~x&1) res+=t[x^1], l+=f;
		if (y&1) res+=t[y^1], r+=f;
	}
	for (; x; x>>=1, y>>=1) res+=laz[x]*l, res+=laz[y]*r;
	return res;
}

for (zkw=1; zkw<=n+1; zkw<<=1);
for (int i=zkw+1; i<=zkw+n; i++) scanf("%lld", t+i);
for (int i=zkw-1; i>0; --i) t[i]=t[i<<1]+t[i<<1|1];