关于曲线规划算法线性 S曲线贝塞尔曲线

工控领域经常会涉及速度加减速的算法：线性加减速，S曲线加减速（sin函数，拓展其他三角函数曲线），贝塞尔曲线，等等。

线性加减速：设定起始速度V0，目标速度V1，加速时间Ta（s,或加速度），这个的任务执行周期为ΔT( ms 级或者设定定时器，定时时间必须大于任务周期否则还是按任务周期计算输出)。

int iCounter ;

　 iCounter = Ta/(ΔT/1000) ; //计算达到输出任务需执行的周期数。

　for(int i =0; i<iCounter;i++ )　

　　Vout = V0+i*（V1-V0）/iCounter; // Vout 为每个周期输出的目标速度。

S曲线加减速： 设定起始速度V0，目标速度V1，加速时间Ta（s,或加速度），这个的任务执行周期为ΔT( ms 级或者设定定时器，定时时间必须大于任务周期否则还是按任务周期计算输出)。

　　int iCounter ;

　　iCounter = Ta/(ΔT/1000) ; //计算达到输出任务需执行的周期数。

　　for(int i =0; i<iCounter;i++ )　

　　 Vout = V0+（V1-V0）（1+Sin( (pi/iCounter)*i-pi/2 )）; // Vout 为每个周期输出的目标速度。

贝塞尔曲线：很少或者基本不用贝塞尔曲线来规划曲线加减速，但是有必要了解贝塞尔曲线的原理，及其低阶曲线的算法（3、4控制点）。

贝塞尔曲线原理：

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接。

在第一条线段上任选一个点 D。计算该点到线段起点的距离 AD，与该线段总长 AB 的比例。

根据上一步得到的比例，从第二条线段上找出对应的点 E，使得 AD:AB= BE:BC。

连接这两点 DE。

从新的线段 DE 上再次找出相同比例的点 F，使得 DF:DE= AD:AB= BE:BC。

到这里，我们就确定了贝塞尔曲线上的一个点 F。接下来，请稍微回想一下中学所学的极限知识，让选取的点 D 在第一条线段上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。

如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！

回过头来看这条贝塞尔曲线，为了确定曲线上的一个点，需要进行两轮取点的操作，因此我们称得到的贝塞尔曲线为二次曲线（这样记忆很直观，但曲线的次数其实是由前面提到的伯恩斯坦多项式决定的）。

当控制点个数为 4 时，情况是怎样的？

步骤都是相同的，只不过我们每确定一个贝塞尔曲线上的点，要进行三轮取点操作。如图，AE:AB= BF:BC= CG:CD= EH:EF= FI:FG= HJ:HI，其中点 J 就是最终得到的贝塞尔曲线上的一个点。

这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。

看过了二次和三次曲线，更高次的贝塞尔曲线大家应该也知道要怎么画了吧。那么比二次曲线更简单的一次（线性）贝塞尔曲线存在吗？长什么样？根据前面的介绍，只要稍作思考，想必你也能猜出来了。哈！就是一条直线~

能画曲线也能画直线，是不是很厉害？要绘制更复杂的曲线，控制点的增加也仅仅是线性的。这一特点使其不光在工业设计领域大展拳脚，就连数学基础不好的人也可以比较容易地掌握，比如大多数平面美术设计师们。

上面介绍的内容并不足以展示贝塞尔曲线的真正威力。推广到三维空间的贝塞尔曲面，以及更进一步的非均匀有理 B 样条（NURBS），早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。

2. 思路解析

百度百科上给出的一般参数公式是这样的：给定点 P0,P1,P2, ... ,Pn，其贝塞尔曲线公式如下（即贝塞尔曲线上的点 B(t) 可由如下公式计算得到）：

这里写图片描述

可以看出其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键：

该表达式可分为四个部分看：

从 i 递增到 n 的常数部分
Pi 坐标部分
(1 - t)^(n - i)
t^i 可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)

如果直接从上面的公式上找规律比较抽象，那就从具体的例子中找规律吧：

设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2..Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式: 如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。

N = 3: P = (1-t)^2P0 + 2(1-t)tP1 + t^2*P2
N = 4: P = (1-t)^3P0 + 3(1-t)^2tP1 + 3(1-t)t^2P2 + t^3*P3
N = 5: P = (1-t)^4P0 + 4(1-t)^3tP1 + 6(1-t)^2*t2P2 + 4(1-t)t^3P3 + t^4*P4

将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示：设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式： a * (1 - t)^b * t^c * Pn;

分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值：如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 (1-t)^2*P0，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0

N = 3: 1,2,0 2,1,1 1,0,2 a: 1 2 1 b: 2 1 0 c: 0 1 2
N = 4: 1,3,0 3,2,1 3,1,2 1,0,3 a: 1 3 3 1 b: 3 2 1 0 c: 0 1 2 3
N = 5: 1,4,0 4,3,1 6,2,2 4,1,3 1,0,4 a: 1 4 6 4 1 b: 4 3 2 1 0 c: 0 1 2 3 4

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：
N=1:---------1 N=2:--------1 1 N=3:------1 2 1 N=4:-----1 3 3 1 N=5:---1 4 6 4 1 a 值的改变规则为：杨辉三角

接下来就实现它：先再来一个例子
比如计算控制点坐标分别为：P0(3,8)，P1(2,3)，P2(2,7)，想要返回 10 个在贝塞尔曲线上的点，用 java 可以这样写：

float[] p0 = {3, 8};

float[] p1 = {4, 3};

float[] p2 = {2, 7};

float[][] result = new float[10][2];

for (int i = 0; i < 10; i++)

{

float t = i / 10;

result[i][0] = (float) (1 * Math.pow(1 - t, 2) * Math.pow(t, 0) * p0[0] + 2 * Math.pow(1 - t, 1) * Math.pow(t, 1) * p1[0] + 1 * Math.pow(1 - t, 0) * Math.pow(t, 2) * p2[0]);

result[i][1] = (float) (1 * Math.pow(1 - t, 2) * Math.pow(t, 0) * p0[1] + 2 * Math.pow(1 - t, 1) * Math.pow(t, 1) * p1[1] + 1 * Math.pow(1 - t, 0) * Math.pow(t, 2) * p2[1]);

}