[暑假集训Day1T1]黑暗城堡

因为D[i]表示i号节点到1号节点的最短路径，所以可以先以1为源点跑一边SPFA，预处理出每个点到1号节点的最短路。之后开始考虑所谓的“最短路径生成树”，在这棵生成树中有以下性质：当fa[i]==node时，必满足dist[node]+w(node,i)=dist[i]，但是dist[node]+w(node,i)==dist[i]时，node不一定是i的父节点，因为图的最短路可能有多条。因此我们记录mul[i]为i的前驱个数，也就是所有满足dist[k]+w(k,i)==dist[i]的点的个数。根据乘法原理累计相乘即可求出答案。

常见疑问：
Q1：为什么这样构造出来一定是一棵树？？？

A1：因为对于每一棵生成树，除1号节点外，都有一个唯一的前驱，我们假想他们之间连了一条边，则连了(n-1)条边，并且保证联通性，根据树的定义，可以保证这是一棵树。

Q2：为什么可以不排序？？？网上大神排序出于什么目的？？？

A2：因为边权均为正，所以比较dist值较大的节点只能从dist值较小的节点走过来，因此对i号节点统计时我们是用不到dist值比i大的节点的，因此使用O(NlogN)的时间按每个节点dist值进行排序，即可省去一半的时间。注意，不排序对正确性没有影响。

Q3：为什么不用伟大的Dijkstra堆优化而使用已经死了的SPFA？？？

A3：LQX学长调他的堆优化调了一个下午。

参考代码如下：

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #define int long long
 #define mod 2147483647
 #define N 1005
 #define M 1000005
 #define INF 110412365
 using namespace std;
 struct node
 {
     int num,dist;
 }point[N];
 int n,m,v[M],w[M],head[M],nxt[M],cnt,x,y,z,mul[N];
 bool vis[N];
 void add(int a,int b,int c)
 {
     v[++cnt]=b;
     w[cnt]=c;
     nxt[cnt]=head[a];
     head[a]=cnt;
 }
 int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-;ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 void spfa(int s)
 {
     for(int i=;i<=n;i++)point[i].dist=INF;
     queue<int>q;
     q.push(s);
     vis[s]=;
     while(!q.empty())
     {
         int c=q.front();
         q.pop();
         vis[c]=;
         for(int i=head[c];i;i=nxt[i])
         {
             int y=v[i];
             if(point[y].dist>point[c].dist+w[i])
             {
                 point[y].dist=point[c].dist+w[i];
                 if(!vis[y])
                 {
                     q.push(y);
                     vis[y]=;
                 }
             }
         }
     }
 }
 bool cmp(node a,node b)
 {
     return a.dist<b.dist;
 }
 signed main()
 {
     n=read();m=read();
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         x=read();y=read();z=read();
         add(x,y,z);add(y,x,z);
     }
     spfa();
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
         {
             if(point[i].dist+w[j]==point[v[j]].dist)mul[v[j]]++;
         }
     }
     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)ans*=mul[i],ans%=mod;
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }