LOJ#10064. 「一本通 3.1 例 1」黑暗城堡

LOJ#10064. 「一本通 3.1 例 1」黑暗城堡

题目描述

你知道黑暗城堡有$N$个房间，$M$条可以制造的双向通道，以及每条通道的长度。

城堡是树形的并且满足下面的条件：

设$D_i$为如果所有的通道都被修建，第$i$号房间与第$1$号房间的最短路径长度；

而$S_i$为实际修建的树形城堡中第$i$号房间与第$1$号房间的路径长度；

要求对于所有整数$i(1\le i\le N)$，有$S_i= D_i$成立。

你想知道有多少种不同的城堡修建方案。当然，你只需要输出答案对$2^{31}-1$取模之后的结果就行了。

输入格式

第一行为两个由空格隔开的整数$N, M$;

第二行到第$M+1$行为$3$个由空格隔开的整数$x, y, l$：表示$x$号房间与$y$号房间之间的通道长度为$l$。

输出格式

一个整数：不同的城堡修建方案数对$2^{31}-1$取模之后的结果。

样例

样例输入

4 6
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 1
2 4 2
3 4 1

样例输出

6

样例说明

一共有$4$个房间，$6$条道路，其中$1$号和$2$号，$1$号和$3$号，$1$号和$4$号，$2$号和$3$号，$2$号和$4$号，$3$号和$4$号房间之间的通道长度分别为$1$，$2$，$3$，$1$，$2$，$1$。

而不同的城堡修建方案数对$2^{31} -1$取模之后的结果为$6$。

数据范围与提示

对于全部数据，$1\le N\le 1000$，$1\le M\le \frac{N(N-1)}{2}$，$1\le l\le 200$。

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题解Here!

据说标解是最短路径树？但是本蒟蒻不会啊。。。

然后开始$YY$。。。

首先一发最短路没的说。

我直接$SPFA$的，出题人良心，没有卡$SPFA$。

然后把所有可能在生成树上的边提出来。

我们会发现这些边形成了一个$DAG$。

然后对于每个点（除了$1$），我们一定至少有一种选择方案，将它挂在某个节点的下面，成为儿子节点。

所以我们把这些点的选择方案数乘起来就是我们的答案。

而每个点$i$的选择方案就是这个点在$DAG$中的入度$indegree[i]$。

答案可以表示成：$$Ans=\prod_{i=2}^n indegree[i]$$

然后就没了。

记得开$long\ long$。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 1010
#define MAX 999999999
#define MOD 2147483647LL
using namespace std;
int n,m,c=1;
int head[MAXN],path[MAXN];
long long ans=1,indegree[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct Grpah{
	int next,to,w;
}edge[MAXN*MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
	if(path[v]>path[u]+w){
		path[v]=path[u]+w;
		return 1;
	}
	return 0;
}
inline void add_edge(int u,int v,int w){
	edge[c].to=v;edge[c].w=w;edge[c].next=head[u];head[u]=c++;
	edge[c].to=u;edge[c].w=w;edge[c].next=head[v];head[v]=c++;
}
void spfa(){
	int u,v;
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
	path[1]=0;
	vis[1]=true;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=false;
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
			v=edge[i].to;
			if(relax(u,v,edge[i].w)&&!vis[v]){
				vis[v]=true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
}
void work(){
	int u,v,w;
	for(int i=1;i<c;i+=2){
		u=edge[i+1].to;v=edge[i].to;w=edge[i].w;
		if(path[u]+w==path[v])indegree[v]++;
		if(path[v]+w==path[u])indegree[u]++;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)ans=ans*indegree[i]%MOD;
	printf("%lld\n",ans);
}
void init(){
	int u,v,w;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		u=read();v=read();w=read();
		add_edge(u,v,w);
	}
	spfa();
}
int main(){
	init();
	work();
	return 0;
}