问题描述

魔术师的桌子上有n个杯子排成一行,编号为1,2,…,n,其中某些杯子底下藏有一个小球,如果你准确地猜出是哪些杯子,你就可以获得奖品。花费c_ij元,魔术师就会告诉你杯子i,i+1,…,j底下藏有球的总数的奇偶性。

采取最优的询问策略,你至少需要花费多少元,才能保证猜出哪些杯子底下藏着球?

输入格式

第一行一个整数n(1<=n<=2000)。

第i+1行(1<=i<=n)有n+1-i个整数,表示每一种询问所需的花费。其中c_ij(对区间[i,j]进行询问的费用,1<=i<=j<=n,1<=c_ij<=10^9)为第i+1行第j+1-i个数。

输出格式

输出一个整数,表示最少花费。

样例输入

5

1 2 3 4 5

4 3 2 1

3 4 5

2 1

5

样例输出

5

解析

区间问题常和前缀和有关。我们知道了区间\([i,j]\)里数的和的奇偶,也就知道了前缀和中\(sum[j]-sum[i-1]\)的奇偶。

我们的目标是知道每一个数,而每一个数只有可能是0和1,所以如果我们知道前缀和数组的奇偶,也是可以推出每一个数是多少的。而如果我们知道了\(sum[j]\)或\(sum[i-1]\)其中一个的奇偶,再询问区间\([i,j]\)的情况,也就知道另一个的奇偶了。而\(sum[0]=0\)是我们的已知条件。

由此我们可以把前缀和数组的每一位当做一个点,对于区间\([i,j]\)我们将\(i-1\)号点和\(j\)号点连权值为花费的无向边,代表如果我们知道一个可以花费这么多知道另外一个。最后我们的目标是从0出发能达到其他所有点,那么求最小生成树即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
#define N 2002
using namespace std;
struct edge{
int u,v,w;
}e[N*N];
int n,m,i,j,fa[N];
int read()
{
char c=getchar();
int w=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c<='9'&&c>='0'){
w=w*10+c-'0';
c=getchar();
}
return w;
}
int my_comp(const edge &x,const edge &y)
{
return x.w<y.w;
}
int find(int x)
{
if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
int Kruskal()
{
sort(e+1,e+m+1,my_comp);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
int cnt=n+1,ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(cnt==1) break;
int f1=find(e[i].u),f2=find(e[i].v);
if(f1!=f2){
fa[f1]=f2;
cnt--;
ans+=e[i].w;
}
}
return ans;
}
signed main()
{
n=read();
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=i;j<=n;j++){
int x=read();
e[++m]=(edge){i-1,j,x};
}
}
printf("%lld\n",Kruskal());
return 0;
}

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