洛谷 2023 [AHOI2009]维护序列
洛谷 2023 [AHOI2009]维护序列
这个题也是一道经典的线段树模版(其实洛谷的模版二改一下输入顺序就能AC),其中包括区间乘法修改、区间加法修改、区间查询三个操作。
线段树的基本操作就不再赘述了,建树,查询,修改,都比较简单,我们可以为两种操作的懒惰标记申请两个变量来记录,这道题的主要难点是down操作和两种修改的优先级问题。
这两个问题其实就是一回事:首先当我们下推标记时,如果该点加法标记不为0且乘法标记不为1(乘法标记初始化为1),那我们应该先推哪个标记呢?
实际上我们应该先推位置靠前(也就是比较早输入)的运算,可是运用懒惰标记后,我们是难以判断那个运算输入的更早。
有一种解决方法就是在每次乘法修改时,将对应位置的加法懒惰标记乘以修改值。这样我们保证了每次下推标记时必然是乘法优先。
if(tree[u].l>=x&&tree[u].r<=y)
{
tree[u].w*=c;
tree[u].w%=mod;
tree[u].mu=(tree[u].mu*c)%mod;
tree[u].ad=(tree[u].ad*c)%mod;
return;
}
这里的模运算的性质:
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
我们可以随时对程序里的标记和值做模运算。
而下推标记时,我们只要保证乘法优先,就可以轻松打出代码:
void down(int u)
{
tree[u<<].w=(tree[u<<].w*tree[u].mu%mod+tree[u].ad*(tree[u<<].r-tree[u<<].l+)%mod)%mod;
tree[u<<|].w=(tree[u<<|].w*tree[u].mu%mod+tree[u].ad*(tree[u<<|].r-tree[u<<|].l+)%mod)%mod;
tree[u<<].mu=tree[u].mu*tree[u<<].mu%mod;
tree[u<<|].mu=tree[u].mu*tree[u<<|].mu%mod;
tree[u<<].ad=(tree[u].ad+tree[u<<].ad*tree[u].mu)%mod; //下推时加法标记也要做乘法运算
tree[u<<|].ad=(tree[u].ad+tree[u<<|].ad*tree[u].mu)%mod;
tree[u].ad=; //清空标记
tree[u].mu=;
}
下附完整AC代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=;
typedef long long ll; struct segtree{
int l;
int r;
ll w;
ll ad;
ll mu;
}tree[MAXN<<]; int n,m,q,x,y; ll mod,c,ans; ll read()
{
ll x=;
int k=;
char c=getchar();
while(c>''||c<'')
{
if(c=='-') k=-;
c=getchar();
}
while(c<=''&&c>='')
x=x*+c-'',
c=getchar();
return k*x;
} void build(int u,int l,int r)
{
tree[u].l=l;
tree[u].r=r;
tree[u].ad=;
tree[u].mu=;
if(l==r)
{
tree[u].w=read()%mod;
return;
}
int mid=(l+r)>>;
build(u<<,l,mid);
build(u<<|,mid+,r);
tree[u].w=(tree[u<<].w+tree[u<<|].w)%mod;
return;
} void down(int u)
{
tree[u<<].w=(tree[u<<].w*tree[u].mu%mod+tree[u].ad*(tree[u<<].r-tree[u<<].l+)%mod)%mod;
tree[u<<|].w=(tree[u<<|].w*tree[u].mu%mod+tree[u].ad*(tree[u<<|].r-tree[u<<|].l+)%mod)%mod;
tree[u<<].mu=tree[u].mu*tree[u<<].mu%mod;
tree[u<<|].mu=tree[u].mu*tree[u<<|].mu%mod;
tree[u<<].ad=(tree[u].ad+tree[u<<].ad*tree[u].mu)%mod;
tree[u<<|].ad=(tree[u].ad+tree[u<<|].ad*tree[u].mu)%mod;
tree[u].ad=;
tree[u].mu=;
} void query(int u)
{
if(tree[u].l>=x&&tree[u].r<=y)
{
ans=(ans+tree[u].w)%mod;
return;
}
down(u);
int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>;
if(x<=mid) query(u<<);
if(y>mid) query(u<<|);
return;
} void mul(int u)
{
if(tree[u].l>=x&&tree[u].r<=y)
{
tree[u].w*=c;
tree[u].w%=mod;
tree[u].mu=(tree[u].mu*c)%mod;
tree[u].ad=(tree[u].ad*c)%mod;
return;
}
down(u);
int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>;
if(x<=mid) mul(u<<);
if(y>mid) mul(u<<|);
tree[u].w=(tree[u<<].w+tree[u<<|].w)%mod;
return;
} void add(int u)
{
if(tree[u].l>=x&&tree[u].r<=y)
{
tree[u].ad=(tree[u].ad+c)%mod;
tree[u].w+=(tree[u].r-tree[u].l+)*c;
tree[u].w%=mod;
return;
}
down(u);
int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>;
if(x<=mid) add(u<<);
if(y>mid) add(u<<|);
tree[u].w=(tree[u<<].w+tree[u<<|].w)%mod;
return;
} int main()
{
n=read();
mod=read();
build(,,n);
m=read();
for(int i=;i<=m;++i)
{
q=read();
x=read();
y=read();
if(q==)
{
c=read();
mul();
}
if(q==)
{
c=read();
add();
}
if(q==)
{
ans=;
query();
printf("%lld\n",ans%mod);
}
}
return 0;
}
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