【贪心】bzoj1577: [Usaco2009 Feb]庙会捷运Fair Shuttle

一类经典的线段贪心

Description

公交车一共经过N（1<=N<=20000）个站点，从站点1一直驶到站点N。K（1<=K<=50000)群奶牛希望搭乘这辆公交车。第i群牛一共有Mi（1<=Mi<=N)只.

他们希望从Si到Ei去。
公交车只能座C（1<=C<=100）只奶牛。而且不走重复路线，请计算这辆车最多能满足多少奶牛听要求。
注意：对于每一群奶牛，可以部分满足，也可以全部满足，也可以全部不满足。

Input

第1行： 三个整数： K，N，C。 由空格隔开。

第2..K+1行：第i+1行，告诉你第i组奶牛的信息： S_i, E_i and M_i。由空格隔开。

Output

一行：可以在庙会乘坐捷运的牛的最大头数

HINT

捷运可以把2头奶牛从展台1送到展台5，3头奶牛从展台5到展台8， 2头奶牛从展台8 到展台14，1头奶牛从展台9送到展台12，一头奶牛从展台13送到展台14， 一头奶牛从 14送到15。

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题目分析

这种“线段贪心”，最经典的莫过于容量为1的情况。

容量为1时，做法就是按照右端点排序，$O(n)$扫一遍选取不冲突的线段。这个贪心之所以不需要“反悔”，是因为价值和容量一一对应：每一时刻不论选哪一条线段，获得价值都是1.从这个角度上来说，所有线段是无差别的。

想法自然但不正确的贪心1

从容量为1的情况会想到：既然答案可以看做是c次互不影响的“容量为1”路径，那就做c次$O(n)$的贪心嘛。

上图中，最优决策的确可以看做是c次互不影响的决策。但是当我们去选取线段时，会发现按照r端点排序的贪心策略在分配c组互不影响的决策上失效了。

依然按照r排序的正确贪心2

这里采用一种非形式化的语言描述这种贪心策略的正确性：

对于总的安排来说，目标是让每一时刻容量都不要空闲；对于细的策略来说，因为这里线段可以拆开，所以目标是让选取的线段越少冲突越好。

那么先按照r排序。排序后，当然是越靠前的线段越“好”。这里的“好”指的是，这条线段既把之前的容量利用起来；又对后面的线段产生较小的影响。

实在不行可以假设这个结论就是对的……

那么我是用永久标记线段树来维护这个贪心过程。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;

 struct node
 {
     int l,r,v;
     bool operator < (node a) const
     {
         return r < a.r;
     }
 }edges[maxn];
 int k,n,c,ans;
 int f[maxn<<],add[maxn<<];

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = ;
     bool fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
         if (ch=='-') fl = ;
     for (; isdigit(ch); ch=getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     if (fl) num = -num;
     return num;
 }
 int query(int rt, int L, int R, int l, int r, int hd)
 {
     if (L <= l&&r <= R){
         return f[rt]+hd;
     }
     int mid = (l+r)>>, ans = ;
     if (L <= mid) ans = std::max(query(rt<<, L, R, l, mid, hd+add[rt]), ans);
     if (R > mid) ans = std::max(query(rt<<|, L, R, mid+, r, hd+add[rt]), ans);
     return ans;
 }
 void pushup(int rt)
 {
     f[rt] = std::max(f[rt<<], f[rt<<|])+add[rt];
 }
 void adds(int rt, int L, int R, int l, int r, int c)
 {
     if (L <= l&&r <= R){
         f[rt] += c, add[rt] += c;
         return;
     }
     int mid = (l+r)>>;
     if (L <= mid) adds(rt<<, L, R, l, mid, c);
     if (R > mid) adds(rt<<|, L, R, mid+, r, c);
     pushup(rt);
 }
 int main()
 {
     k = read(), n = read(), c = read();
     for (int i=; i<=k; i++)
         edges[i].l = read(), edges[i].r = read(), edges[i].v = read();
     std::sort(edges+, edges+k+);
     for (int i=; i<=k; i++)
     {
         int delta = std::min(c-query(, edges[i].l, edges[i].r, , n, ), edges[i].v);
         ans += delta;
         if (delta)
             adds(, edges[i].l, edges[i].r-, , n, delta);
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

END