CodeForces 1110G. Tree-Tac-Toe

题目简述：给定$n$个节点的树，其中一些节点被染成了白色（其余节点未染色）。黑白双方博弈，白先动。轮到黑（白）方时，选择树上的一个未染色的节点并将其染成黑（白）色。率先达成三连色（即存在三个节点$a, b, c$，其中$a$与$b$相连，$b$与$c$相连，且他们的颜色相同）的一方获胜。问哪方获胜或者和局。

解：code

观察1：任何一个游戏开始之前被染成白色的节点$A$，可以等价于添加边$(A, B), (B, C), (B, D)$，并把$A$设为未染色，其中$B, C, D$是新添加的节点（并且只在此处出现）。（见下图，来自 CodeForces）

证明：白方先动，则选择节点$A$染色，这样黑方只能选择节点$B$染色，不然白方将$B$染色后必胜——这就相当于节点$A$在游戏开始之前被染成白色；白方不可能先染节点$B, C, D$，这样节点$A$可被黑方染色，显然局势劣于白方选择先染节点$A$。

通过观察1，我们可以将$n$个节点的树转化成一个至多$4n$个节点、并且每个节点都未染色的树，我们将这样的树称为【标准的】。

观察2：若存在一个节点，其度数$\geq 4$，则白方必胜。（见下图，来自 CodeForces）

证明：白方直接选择度数$\geq 4$的节点染色，则显然必胜。

观察3：若存在一个节点度数$ = 3$，且这个节点有至少$2$个相邻节点的度数$\geq 2$，则白方必胜。（见下图，来自 CodeForces）

证明：白方直接选择图3中的根节点染色，则显然必胜。

观察3.1：若存在$\geq 3$个度数$=3$的节点，则其中必存在一个度数$=3$的节点至少有$2$个度数$\geq 2$的相邻节点，从而转化为观察3的情形。

观察4：若树中只有$2$个度数$=3$的节点，且这两个节点的距离为偶数，则白方必胜。（见下图，来自 CodeForces）

证明：考虑两个度数$=3$的节点对应的树链。若这两个节点的距离$\geq 4$，则根据观察1，我们课可以将其化为左右两端节点染成白色的一条链上的问题，显然白方必胜；若距离$=2$，白方也显然必胜。

观察5：在【标准的】树中，白方必胜当且仅当这棵树能满足观察2至观察4中所述情况，除了这些情况外，一定和局。

观察2至观察4的条件均可在$O(n)$时间内检验，故时间复杂度为$O(n)$。