BZOJ 1677 [Usaco2005 Jan]Sumsets 求和：dp 无限背包 / 递推【2的幂次方之和】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1677

题意：

　　给定n(n <= 10^6)，将n分解为2的幂次方之和，问你有多少种方法。

题解：

　　两种方法。

　　一、无限背包

　　　　将1,2,4,8...看作物品体积就好。

　　　　复杂度O(n*k)，k约为20。

　　二、递推

　　　　对于dp[i]，有两种情况。

　　　　　　（1）i为奇数。则分解结果中一定有1。

　　　　　　　　　　所以dp[i] = dp[i-1]。

　　　　　　（2）i为偶数。再分两种情况：

　　　　　　　　　　a. 分解结果中有1，所以dp[i] += dp[i-1]

　　　　　　　　　　b. 分解结果中没有1，即所有加数都是2的倍数。可以将所有加数都除以2，所以dp[i] += dp[i/2]

　　　　　　　　　　综上：dp[i] = dp[i-1] + dp[i/2]

AC Code（背包）:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1000005
 #define MOD 1000000000

 using namespace std;

 int n;
 int dp[MAX_N];

 int main()
 {
     cin>>n;
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         for(int j=(<<i);j<=n;j++)
         {
             dp[j]=(dp[j]+dp[j-(<<i)])%MOD;
         }
     }
     cout<<dp[n]<<endl;
 }

AC Code（递推）:

 // if is odd dp[i] = dp[i-1]
 // if is even dp[i] = dp[i-1] + dp[i/2]
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1000005
 #define MOD 1000000000

 using namespace std;

 int n;
 int dp[MAX_N];

 int main()
 {
     cin>>n;
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(i&) dp[i]=dp[i-];
         else dp[i]=(dp[i-]+dp[i>>])%MOD;
     }
     cout<<dp[n]<<endl;
 }