c/c++ 图的最短路径 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

图的最短路径的概念:

一位旅客要从城市A到城市B,他希望选择一条途中中转次数最少的路线。假设途中每一站都需要换车,则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数量最少的路径。我们只需从顶点A出发对图作广度优先遍历,一旦遇到顶点B就终止。由此所得广度优先生成树上,从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径。但是这只是一类最简单的图的最短路径问题。有时,对于旅客来说,可能更关心的是节省交通费用;而对于司机来说,里程和速度则是他们感兴趣的的信息。为了在图上表示相关信息,可对边赋以权值,权值可以表示两个城市之间的距离,或途中所需时间,或交通费用等等。此时路径长度的度量就不再是路径上边的数目,而是路径上边权值之和。

实现思路:

  • 创建2个辅助int*数组dist path,1个bool数组s
  • dist 存放目标顶点到每个顶点的最短距离
  • path 存放目标顶点到每个顶点的路径
  • s 被查找过的顶点设置为true,否则为false

图为下图

1,假设目标顶点为A,先从A开始找到各个顶点的权值,

A B C D E
dist 0 10 无穷大 30 100
path -1 0 0 0 0
s true false false false false

path含义:比如path[1]=0,就代表从下标为0的顶点(A顶点)到B顶点

2,从dist里找到s为false的最小值,也就是dist[1]的值10,下标1说明是顶点B,再从B开始找到各个顶点的权值,更新dist和path,并设置B为true

A B C D E
dist 0 10 60 30 100
path -1 0 1 0 0
s true true false false false

3,从dist里找到s为false最小值,也就是dist[3]的值30,下标3说明是顶点D,再从D开始找到各个顶点的权值,更新dist和path,并设置D为true

A B C D E
dist 0 10 50 30 90
path -1 0 3 0 3
s true true false true false

4,从dist里找到s为false最小值,也就是dist[2]的值50,下标2说明是顶点C,再从C开始找到各个顶点的权值,更新dist和path,并设置C为true

A B C D E
dist 0 10 50 30 60
path -1 0 3 0 2
s true true true true false

5,从dist里找到s为false最小值,也就是dist[4]的值60,下标4说明是顶点E,再从E开始找到各个顶点的权值,更新dist和path,并设置E为true

A B C D E
dist 0 10 50 30 60
path -1 0 3 0 2
s true true true true true

下面两幅图可以帮助理解

dijkstra.h

#ifndef __mixspantree__
#define __mixspantree__ #include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <assert.h>
#include <memory.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h> #define Default_vertex_size 20 #define T char//dai biao ding dian de lei xing
#define E int
#define MAX_COST 0x7FFFFFFF typedef struct GraphMtx{
int MaxVertices;//zui da ding dian shu liang]
int NumVertices;//shi ji ding dian shu liang
int NumEdges;//bian de shu lian T* VerticesList;//ding dian list
int** Edge;//bian de lian jie xin xi, bu shi 0 jiu shi 1
}GraphMtx; //chu shi hua tu
void init_graph(GraphMtx* gm);
//打印二维数组
void show_graph(GraphMtx* gm);
//插入顶点
void insert_vertex(GraphMtx* gm, T v);
//添加顶点间的线
void insert_edge(GraphMtx* gm, T v1, T v2, E cost); //最短路径
void short_path(GraphMtx* g,T v,E* dist, int* path);
#endif

dijkstra.c

#include "dijkstra.h"

void init_graph(GraphMtx* gm){
gm->MaxVertices = Default_vertex_size;
gm->NumEdges = gm->NumVertices = 0; //kai pi ding dian de nei cun kong jian
gm->VerticesList = (T*)malloc(sizeof(T) * (gm->MaxVertices));
assert(NULL != gm->VerticesList); //创建二维数组
//让一个int的二级指针,指向一个有8个int一级指针的数组
//开辟一个能存放gm->MaxVertices个int一级指针的内存空间
gm->Edge = (int**)malloc(sizeof(int*) * (gm->MaxVertices));
assert(NULL != gm->Edge);
//开辟gm->MaxVertices组,能存放gm->MaxVertices个int的内存空间
for(int i = 0; i < gm->MaxVertices; ++i){
gm->Edge[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * gm->MaxVertices);
}
//初始化二维数组
//让每个顶点之间的边的关系都为不相连的
for(int i = 0; i < gm->MaxVertices; ++i){
for(int j = 0; j < gm->MaxVertices; ++j){
if(i == j)
gm->Edge[i][j] = 0;
else
gm->Edge[i][j] = MAX_COST;
}
}
}
//打印二维数组
void show_graph(GraphMtx* gm){
printf(" ");
for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
printf("%3c ", gm->VerticesList[i]);
}
printf("\n");
for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
//在行首,打印出顶点的名字
printf("%c:", gm->VerticesList[i]);
for(int j = 0; j < gm->NumVertices; ++j){
if(gm->Edge[i][j] == MAX_COST){
printf("%3c ", '*');
}
else{
printf("%3d ", gm->Edge[i][j]);
}
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
//插入顶点
void insert_vertex(GraphMtx* gm, T v){
//顶点空间已满,不能再插入顶点了
if(gm->NumVertices >= gm->MaxVertices){
return;
}
gm->VerticesList[gm->NumVertices++] = v;
} int getVertexIndex(GraphMtx* gm, T v){
for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
if(gm->VerticesList[i] == v)return i;
}
return -1;
}
//添加顶点间的线
void insert_edge(GraphMtx* gm, T v1, T v2, E cost){
if(v1 == v2)return; //查找2个顶点的下标
int j = getVertexIndex(gm, v1);
int k = getVertexIndex(gm, v2);
//说明找到顶点了,并且点之间还没有线
if(j != -1 && k != -1 ){
//因为是有方向,所以更新1个值
gm->Edge[j][k] = cost;
//边数加一
gm->NumEdges++;
}
} //取得2个顶点之间的权值
E getWeight(GraphMtx* g, int v1, int v2){
if(v1 == -1 || v2 == -1) return MAX_COST;
return g->Edge[v1][v2];
}
//最短路径
void short_path(GraphMtx* g,T v,E* dist, int* path){
int n = g->NumVertices;
bool* s = (bool*)malloc(sizeof(bool) * n);
assert(NULL != s); int vi = getVertexIndex(g, v);
for(int i = 0; i < n; ++i){
//获得各个顶点与目标顶点之间的权值
dist[i] = getWeight(g, vi, i);
s[i] = false;
if(i != vi && dist[i] < MAX_COST){
path[i] = vi;
}
else{
path[i] = -1;
}
} s[vi] = true;
int min;
int w;
for(int i = 0; i < n - 1; ++i){
min = MAX_COST;
//u为最短路径顶点的下标
int u = vi;
for(int j = 0; j < n; ++j){
if(!s[j] && dist[j] < min){
u = j;
min = dist[j];
}
}
//把u加入到s集合
s[u] = true; //更新下一个点到所有点的权值
for(int k = 0; k < n; ++k){
w = getWeight(g, u, k);
if(!s[k] && w < MAX_COST && dist[u] + w < dist[k]){
dist[k] = dist[u] + w;
path[k] = u;
}
}
}
}

dijkstramain.c

#include "dijkstra.h"

int main(){
GraphMtx gm;
//初始化图
init_graph(&gm);
//插入顶点
insert_vertex(&gm, 'A');
insert_vertex(&gm, 'B');
insert_vertex(&gm, 'C');
insert_vertex(&gm, 'D');
insert_vertex(&gm, 'E'); //添加连线
insert_edge(&gm, 'A', 'B', 10);
insert_edge(&gm, 'A', 'D', 30);
insert_edge(&gm, 'A', 'E', 100);
insert_edge(&gm, 'B', 'C', 50);
insert_edge(&gm, 'C', 'E', 10);
insert_edge(&gm, 'D', 'C', 20);
insert_edge(&gm, 'D', 'E', 60);
//打印图
show_graph(&gm); int n = gm.NumVertices;
E* dist = (E*)malloc(sizeof(E) * n);
int* path = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
assert(NULL != dist && NULL != path); //最短路径
short_path(&gm, 'A', dist, path); }

完整代码

编译方法:gcc -g dijkstra.c dijkstramain.c

执行结果如下图:

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