最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(C/C++)

Dijkstra算法

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最后更新时间：2011.9.25
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Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

/***************************************
* About:    有向图的Dijkstra算法实现
* Author:   Tanky Woo
* Blog:     www.WuTianQi.com
***************************************/
 
#include <iostream>usingnamespace std;
 
constint maxnum =100;constint maxint =999999;
 
// 各数组都从下标1开始int dist[maxnum];// 表示当前点到源点的最短路径长度int prev[maxnum];// 记录当前点的前一个结点int c[maxnum][maxnum];// 记录图的两点间路径长度int n, line;// 图的结点数和路径数
 
// n -- n nodes// v -- the source node// dist[] -- the distance from the ith node to the source node// prev[] -- the previous node of the ith node// c[][] -- every two nodes' distancevoid Dijkstra(int n, int v, int*dist, int*prev, int c[maxnum][maxnum]){bool s[maxnum];// 判断是否已存入该点到S集合中for(int i=1; i<=n;++i){
  dist[i]= c[v][i];
  s[i]=0;// 初始都未用过该点if(dist[i]== maxint)
   prev[i]=0;else
   prev[i]= v;}
 dist[v]=0;
 s[v]=1;
 
 // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度// 注意是从第二个节点开始，第一个为源点for(int i=2; i<=n;++i){int tmp = maxint;int u = v;// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n;++j)if((!s[j])&& dist[j]<tmp){
    u = j;// u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
    tmp = dist[j];}
  s[u]=1;// 表示u点已存入S集合中
 
  // 更新distfor(int j=1; j<=n;++j)if((!s[j])&& c[u][j]<maxint){int newdist = dist[u]+ c[u][j];if(newdist < dist[j]){
     dist[j]= newdist;
     prev[j]= u;}}}}
 
// 查找从源点v到终点u的路径，并输出void searchPath(int*prev,int v, int u){int que[maxnum];int tot =1;
 que[tot]= u;
 tot++;int tmp = prev[u];while(tmp != v){
  que[tot]= tmp;
  tot++;
  tmp = prev[tmp];}
 que[tot]= v;for(int i=tot; i>=1;--i)if(i !=1)cout<< que[i]<<" -> ";elsecout<< que[i]<< endl;}
 
int main(){freopen("input.txt", "r", stdin);// 各数组都从下标1开始
 
 // 输入结点数cin>> n;// 输入路径数cin>> line;int p, q, len;// 输入p, q两点及其路径长度
 
 // 初始化c[][]为maxintfor(int i=1; i<=n;++i)for(int j=1; j<=n;++j)
   c[i][j]= maxint;
 
 for(int i=1; i<=line;++i){cin>> p >> q >> len;if(len < c[p][q])// 有重边{
   c[p][q]= len;// p指向q
   c[q][p]= len;// q指向p，这样表示无向图}}
 
 for(int i=1; i<=n;++i)
  dist[i]= maxint;for(int i=1; i<=n;++i){for(int j=1; j<=n;++j)printf("%8d", c[i][j]);printf("\n");}
 
 Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
 
 // 最短路径长度cout<<"源点到最后一个顶点的最短路径长度: "<< dist[n]<< endl;
 
 // 路径cout<<"源点到最后一个顶点的路径为: ";
 searchPath(prev, 1, n);}

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5

最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：
1.HDOJ 1874 畅通工程续

2.HDOJ 2544 最短路