<转载>ford-fulkerson算法

原文链接http://blog.csdn.net/ivan_zgj/article/details/51580993

最大流问题常常出现在物流配送中，可以规约为以下的图问题。最大流问题中，图中两个顶点之间不能同时存在一对相反方向的边。

边上的数字为该条边的容量，即在该条边上流过的量的上限值。最大流问题就是在满足容量限制条件下，使从起点s到终点t的流量达到最大。在介绍解决最大流问题的Ford-Fulkerson方法之前，先介绍一些基本概念。

1.  残存网络与增广路径

根据图和各条边上的流可以画出一幅图的残存网络如下所示。左图为流网络，右图为残存网络，其中流网络中边上的数字分别是流量和容量，如10/12，那么10为边上的流量，12为边的容量。残存网络中可能会存在一对相反方向的边，与流网络中相同的边代表的是流网络中该边的剩余容量，在流网络中不存在的边代表的则是其在流网络中反向边的已有流量，这部分流量可以通过“回流”减少。例如，右图残存网络中，边<s,v1>的剩余容量为4，其反向边<v1.s>的值为12，即左图流网络中的边<s,v1>的流量。在残存网络中，值为0的边不会画出，如边<v1,v2>。

残存网络描述了图中各边的剩余容量以及可以通过“回流”删除的流量大小。在Ford-Fulkerson方法中，正是通过在残存网络中寻找一条从s到t的增广路径，并对应这条路径上的各边对流网络中的各边的流进行修改。如果路径上的一条边存在于流网络中，那么对该边的流增加，否则对其反向边的流减少。增加或减少的值是确定的，就是该增广路径上值最小的边。

2. Ford-Fulkerson方法

Ford-Fulkerson方法的正确性依赖于这个定理：当残存网络中不存在一条从s到t的增广路径，那么该图已经达到最大流。这个定理的证明及一些与其等同的定理可以参考《算法导论》。

Ford-Fulkerson方法的伪代码如下。其中<u,v>代表顶点u到顶点v的一条边，<u,v>.f表示该边的流量，c是边容量矩阵，c(i,j)表示边<i,j>的容量，当边<i,j>不存在时，c(i,j)=0。e为残存网络矩阵，e(i,j)表示边<i,j>的值，当边<i,j>不存在时，e(i,j)=0。E表示边的集合。f表示流网络。

 Ford-Fulkerson

     for <u,v> ∈ E

         <u,v>.f = 0

     while find a route from s to t in e

         m = min(<u,v>.f, <u,v>  ∈ route)

         for <u,v> ∈ route

             if <u,v>  ∈ f

                 <u,v>.f = <u,v>.f + m

             else

                 <v,u>.f = <v,u>.f - m

Ford-Fulkerson方法首先对图中的所有边的流量初始化为零值，然后开始进入循环：如果在残存网络中可以找到一条从s到t的增广路径，那么要找到这条这条路径上值最小的边，然后根据该值来更新流网络。

Ford-Fulkerson有很多种实现，主要不同点在于如何寻找增广路径。最开始提出该方法的Ford和Fulkerson同学在其论文中都是使用广度优先搜索实现的，其时间复杂度为O(VE)，整个算法的时间复杂度为O(VE^2)。

下面我给出一个应用Bellman-Ford计算单源最短路径的算法实现寻找一条增广路径，对于用邻接矩阵表示的图来说，该实现的时间复杂度为O(V^3)，对于用邻接表表示的图来说，时间复杂度则为O(VE)。