批量归一化（BN, Batch Normalization）

　　现在的神经网络通常都特别深，在输出层向输入层传播导数的过程中，梯度很容易被激活函数或是权重以指数级的规模缩小或放大，从而产生“梯度消失”或“梯度爆炸”的现象，造成训练速度下降和效果不理想。

　　如何避免或者减轻这一现象的发生呢？归一化就是方法的一种。归一化将网络中层与层之间传递的数据限制在一定范围内，从而避免了梯度消失和爆炸的发生。下面介绍一种最基本的归一化：批量归一化（BN, Batch Normalization）。另外还有层归一化（LN, Layer Normalization）和权重归一化（WN, Weight Normalization），和BN大同小异。

批量归一化

　　批量归一化层的是这样定义的，当使用批量梯度下降（或小批量）时，对前一层的输出在批量的维度上进行归一化，即

\begin{align} &\hat{X}_i^t=\frac{X_i^{t-1}-E(X^{t-1})}{\sqrt{D(X^{t-1})+\varepsilon}} \\ \text{where}\;\; &E(X^{t-1}) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^{t-1}\notag\\ &D(X^{t-1}) = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left[X_i^{t-1}-E(X^{t-1})\right]^2\notag \end{align}

　　其中$n$是输入批量，$X_i^{t-1}$是前一层输出批量中的第$i$个，$\varepsilon$是为避免0除而设置的较小数。以上都是按元素进行的操作。这样做的显式优点在于，大部分的输出都被映射到了-1和1之间，而诸如sigmoid激活函数，在这个区间内的梯度是最大的，从而避免因激活函数值的饱和而产生的梯度消失。并且由于层输出的归一化约束，反向传播的累积不会特别显著，梯度爆炸也得以避免。

　　但是，如果仅仅进行以上操作，网络的拟合能力就会下降。这是因为，神经网络强大的拟合能力在于激活函数的非线性。经过以上操作，激活函数的输入通常都集中在-1和1之间，而sigmoid函数在这区间内的导数变化率是比较低的，或者说是比较线性的。为了防止这一点，BN在这基础上再加一个“反向”操作，将权重输出再乘上自学习的标准差和均值，映射到激活函数曲率（或者说二阶导数绝对值、导数变化率）相对更大的位置，在获得较大导数的同时，保留激活非线性。公式如下：

$ \begin{aligned} &X_i^t= \gamma^t\hat{X}_i^t+\beta^t\\ \end{aligned} $

　　与$(1)$式联合得到：

$ \begin{aligned} &X_i^t= \frac{\gamma^t}{\sqrt{D(X^{t-1})+\varepsilon}}X_i^{t-1} + \left(\beta^t-\frac{E(X^{t-1})\gamma^t}{\sqrt{D(X^{t-1})+\varepsilon}}\right)  \\ \end{aligned} $

　　其中$\gamma,\beta$都是模型中用反向传播学习的参数。这样一来，BN层可以自己“决定”将输出映射到合适位置。

　　另外，在训练结束进行推理时，我们输入模型的通常都是单个样本，毕竟一个样本是不能求样本方差的。所以BN使用滑动平均（moving average）来保存所有输入的均值和方差，以用于对单一输入的归一化。

Keras中BN的使用

　　Keras中已经实现了BN层可以直接使用，而不用我们自己重新写这个轮子。使用方式如下：

x = keras.layers.BatchNormalization(axis=-1,#对输入的哪个轴执行BN
                                    momentum=0.99,#滑动平均和方差的动量
                                    epsilon=0.001,#防止0除的较小值
                                    center=True,#是否使用beta调整归一化后的输出均值
                                    scale=True,#是否使用gamma调整归一化后的输出方差
                                    trainable=True)(x) 

　　其中要注意axis，归一化操作是针对axis维度指定的向量进行的。比如当BN层的前一层是二维卷积层，输出的第一维是批量，然后是图像宽高，最后一维是通道。假如BN层axis=-1，均值就是整个批量的所有像素对应的通道向量的平均，方差的计算也是以这个维度进行。也可以传入列表，假如axis=[1,2,3]，那么进行的规范化就是原理中所介绍的那样，均值的规模就是CxHxW。对于下面的代码：

from keras import layers,Model,Input 

Input_img = Input(shape = [320,320,3])
x = layers.BatchNormalization(axis=-1,
                              momentum=0.99,
                              epsilon=0.001,
                              center=True,
                              scale=True)(Input_img)
model = Model(Input_img,x)
model.summary()

　　summary()输出可训练参数和不可训练参数各6个。可训练参数就是$\gamma,\beta$，不可训练参数是滑动平均所保存的均值和方差。另外，如果将BN层的traninable标记设置为False，那么$\gamma,\beta$就会被固定，不会被训练；而如果设置为True，则只有$\gamma,\beta$会被训练，另外6个不可训练参数依然是不可训练状态，因为它们是通过滑动平均而不是反向传播来更新的。

Pytorch中的BN

　　在Pytorch中使用BN的代码如下（和上面一样，也是2维BN）：

from torch import nn

bn = nn.BatchNorm2d(num_features = 6,# 特征数
                    eps = 0.00001,   # 防止0除
                    momentum = 0.1,  # 滑动平均与方差的动量（与Keras中相反），如果设为None，momentum = 1/i，i是输入的次数
                    affine = True,   # 是否使用gamma与beta再次映射，也就是会多出几个训练参数
                    track_running_stats = True)# 是否累计每次计算的均值与方差
for i in bn.state_dict():
  print(i,bn.state_dict()[i])

　　与Keras中类似，但这里直接默认对特征维度进行规范化，特征维度在pytorch中是倒数第3维。需要注意的是，track_running_stats，也就是累计每次输入计算的均值与方差，只要你传入一个输入，累计的均值与方差就会被修改。因此，如果你在推理时不想修改这两个累计值，就要将track_running_stats设置为False。而在训练时，只需再修改回True即可。