从股市走势到动态规划:探索最大子数组和问题

生活中的算法

想象你是一位股票交易员,手上有一支股票的每日涨跌数据。你想找出哪段连续的交易日能获得最大的收益。如果某天股票上涨5元,我们记为+5,下跌3元记为-3。找出总和最大的一段连续交易日,就是在寻找最大子数组和。

这个问题在现实生活中很常见。比如分析用户活跃度的波动趋势,研究气温变化的最大累积效应,或是评估企业连续几个月的盈利表现。

问题描述

LeetCode第53题"最大子数组和"是这样描述的:给你一个整数数组 nums,请你找出一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

例如:

输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

最直观的解法:暴力枚举

最容易想到的方法是:枚举所有可能的子数组,计算它们的和,找出最大值。

让我们用一个简单的例子来理解:

nums = [1,-2,3,-1]
检查子数组 [1]:和为1
检查子数组 [1,-2]:和为-1
检查子数组 [1,-2,3]:和为2
检查子数组 [1,-2,3,-1]:和为1
检查子数组 [-2]:和为-2
...依此类推
找到最大和为3,对应子数组[3]

优化解法:动态规划

仔细思考会发现,我们在计算每个位置结尾的最大子数组和时,只需要关注前一个位置的最大子数组和是否值得接续。

类似继承资产,如果之前继承的是正资产,不管多还是少,有总比没有好。我在之前的资产基础上,加上我目前的资产或者负债。

可要是之前继承的是一笔负债,那我宁可不要,选择白手起家。

动态规划的原理

  1. 定义dp[i]为以第i个数结尾的最大子数组和
  2. 如果前面的和是正数,就值得接续;如果是负数,就重新开始
  3. 状态转移方程:dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
  4. 最终答案是dp数组中的最大值

算法步骤演示

用nums = [1,-2,3,-1]演示这个过程:

1. 处理1:
dp[0] = 1
当前最大和 = 1 2. 处理-2:
dp[1] = max(1-2, -2) = -1
当前最大和 = 1 3. 处理3:
dp[2] = max(-1+3, 3) = 3
当前最大和 = 3 4. 处理-1:
dp[3] = max(3-1, -1) = 2
最终最大和 = 3

Java代码实现

public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return 0;
} // dp[i]表示以i结尾的最大子数组和
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
int maxSum = dp[0]; for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// 状态转移:要么接续前面的和,要么重新开始
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
// 更新全局最大和
maxSum = Math.max(maxSum, dp[i]);
} return maxSum;
}

进一步优化:空间优化

观察发现,我们其实只需要前一个状态的值,不需要保存整个dp数组。

public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return 0;
} int currentMax = nums[0];
int maxSum = nums[0]; for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
currentMax = Math.max(currentMax + nums[i], nums[i]);
maxSum = Math.max(maxSum, currentMax);
} return maxSum;
}

解法比较

让我们比较这些解法:

暴力枚举:

  • 时间复杂度:O(n²)
  • 空间复杂度:O(1)
  • 优点:直观易懂
  • 缺点:效率较低

动态规划:

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)
  • 优点:高效且易于理解
  • 缺点:需要额外空间

空间优化版:

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)
  • 优点:时空效率都很高
  • 缺点:代码不如dp数组版直观

扩展思考

这道题目启发我们:

  1. 当遇到"最大"/"最小"类型的问题时,考虑动态规划
  2. 寻找问题中的递推关系
  3. 关注是否可以优化空间复杂度
  4. 注意处理负数的情况

类似的问题还有:

  • 买卖股票的最佳时机
  • 乘积最大子数组
  • 环形子数组的最大和

小结

通过最大子数组和这道题,我们不仅学会了一个经典的动态规划问题的解法,更重要的是理解了如何将复杂问题分解为子问题,并利用子问题的解构建最终答案。这种思维方式在解决其他动态规划问题时也会很有帮助。

记住,当遇到需要求解"最大连续和"类型的问题时,动态规划往往能提供一个优雅而高效的解决方案!


作者:忍者算法

公众号:忍者算法

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