foj 2173 floyd+矩阵快速幂

 Problem 2173 Nostop

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 Problem Description

M国有N个城市，H条单向的道路，AekdyCoin从编号为1的城市出发，每经过一条道路要花一个单位的时间。假设他出发的时刻为0，他需要在K时刻到达编号为N的城市。并且，AekdyCoin不会在一个城市停留，每到一个城市他要立刻往下一个城市出发，最后在K时刻时他必须在城市N。虽然AekdyCoin经过任意一条道路的花费的时间都是1，但是每条道路的过路费不一定相同。现给出每条道路的过路费，问AekdyCoin从编号为1的城市出发，在K时刻到达编号为N的城市最小需要花费多少钱？注意AekdyCoin可以经过同一个城市任意多次，包括城市N。

 Input

第一行输入一个整数T表示数据组数，接下来输入T组数据。对于每组数据，第一行输入三个整数N，H,K(1<=N<=50,1<=H<=3000,1<=K<=1000000000)，接下来输入H行，每行三个整数u、v、cost（1<=u,v<=n,1<=cost<=1000000），表示从u到v过路费为cost的一条单行道。

 Output

对于每组数据输出一行一个整数表示最小花费，若无法在K时刻到达城市N，则输出-1。

 Sample Input

15 5 31 2 12 5 11 3 103 4 104 5 10

 Sample Output

30

FOJ 2173 Nostop 从1点到n点恰好走了k次的最短路

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2173

思路：

类似于传递闭包的性质

用矩阵mp[i][j] 表示i点到j点 走1次的最短路

--------------

若我们用 mp[i][j] 表示从i点到j点 走了k次的最短路距离

那么我们要通过 矩阵mp 得到 矩阵 ret[u][v] 表示 u->v 走了2*k次的最短路

就是：

mp[u][i] + mp[i][v]; i为任意点（即1-n）

显然我们转换一下上式就是：

ret[u][v] = inf;
for(int i = 1; i <= n; i++)
ret[u][v] = min(ret[u][v], mp[u][i]+mp[i][v]);

然后求出整个的ret矩阵就是：

for(int u = 1; u<=n; u++)
	for(int v = 1; v<=n; v++){
		ret[u][v] = inf;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			ret[u][v] = min(ret[u][v], mp[u][i]+mp[i][v]);
}

显然就是 ret = mp*mp;

然后套个矩阵快速幂：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define Matr 55 //矩阵大小,注意能小就小
#define ll long long

#define N 52
#define inf 100000000000000000
struct mat{//矩阵结构体，a表示内容，size大小 矩阵从1开始
	ll a[Matr][Matr];
	int size;
};
mat multi(mat m1,mat m2)//两个相等矩阵的乘法，对于稀疏矩阵，有0处不用运算的优化
{
	mat ans;ans.size=m1.size;
	for(int i=1;i<=m1.size;i++)
		for(int j=1;j<=m2.size;j++)
		{
			ll tmp = inf;
			for(int k = 1; k <= m1.size; k++)
				tmp = min(tmp, m1.a[i][k] + m2.a[k][j]);
			ans.a[i][j]=tmp;
		}
	return ans;
}
mat quickmulti(mat m,int n){
	mat ans=m;
	n--;
	while(n){
		if(n&1)ans=multi(m,ans);
		m=multi(m,m);
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
mat mp;
int n, m, k;

int main(){
	int u, v, i, j, T; scanf("%d",&T);
	ll d;
	while(T--){
		scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
		for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)mp.a[i][j] = inf;
		mp.size = n;
		while(m--){
			scanf("%d %d",&u,&v); cin>>d;
			mp.a[u][v] = min(mp.a[u][v], d);
		}
		mat ans = quickmulti(mp,k);
		if(ans.a[1][n]==inf)puts("-1");
		else cout<<ans.a[1][n]<<endl;
	}
	return 0;
}