区间DP与贪心算法的联系(uav Cutting Sticks && poj Fence Repair（堆的手工实现）)

由于，这两题有着似乎一样的解法所以将其放在一起总结比較，以达到更好的区分二者的差别所在。

一、区间DP

uva的Cutting Sticks是一道典型的模板题。

题目描写叙述：

有一根长度为l的木棍，木棍上面有m个分割点，每一次分割都要付出当前木棍长度的代价，问如何分割有最小代价。

区间DP的定义：

区间动态规划问题一般都是考虑。对于每段区间，他们的最优值都是由几段更小区间的最优值得到，是分治思想的一种应用。将一个区间问题不断划分为更小的区间直至一个元素组成的区间，枚举他们的组合，求合并后的最优值。

解法：

   设F[i,j]（1<=i<=j<=n）表示区间[i,j]内的数字相加的最小代价 。 最小区间F[i,i]=0（一个数字无法合并，∴代价为0）每次用变量k（i<=k<=j-1）将区间分为[i,k]和[k+1,j]两段

区间DP模板，代码：

for(intp = 1 ; p <= n ; p++){      //p是区间的长度，作为阶段
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){   //i是穷举区间的起点
      int j = i+p-1;               //j为区间的终点
      for(int k = i ; k < j ; k++)//状态转移
         dp[i][j] = min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]};//这个是看题目意思，有的是要从k開始不是k+1
         dp[i][j]= max{dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]};
      }
}

改题解法：

   对于这一题，假设我们仅仅对最左边的分割点到最右边的分割点进行DP。那么得到的答案肯定是错的。由于不是整个区间。所以我们必须在木棍的做左边和左右边分别添加一个点，那么得到的就是整个区间。再对这个区间进行DP求解就可以。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 50 + 10;
const int INF = ~0U >> 2;
int w[MAXN],dp[MAXN][MAXN];
int L,n;

int solve(){
    n++;
    for(int i = 0;i <= n;++i)
        for(int j = i+1;j <= n;++j)
            dp[i][j] = (i+1 == j ? 0 : INF);

    w[0] = 0; w[n] = L;
    for(int p = 1;p <= n;++p){            //区间长度
        for(int s = 0;s <= n-p;++s){       // 起始位置
            int e = s + p;                //终点
            for(int k = s+1;k < e;++k){    //状态转移
                dp[s][e] = min(dp[s][e],dp[s][k] + dp[k][e] + w[e] - w[s]);
            }
        }
    }
    return dp[0][n];
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&L),L){
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            scanf("%d",&w[i]);
        }
        printf("The minimum cutting is %d.\n",solve());
    }
    return 0;
}

POJ的这题呢，能够看作是上体的上级版。

是没有给出固定的位置的，木板的分割顺序不确定，自由度非常高。这题貌似非常难入手。

可是事实上能够用稍微奇特的贪心来求解。

原理解析：

过程分析是一个涉及了哈夫曼编码的二叉树，由于分析过程有点下复杂。所以自己联想一下吧（囧）。以下给出的算法是不断求解huffman编码中的最小值和次小值。因此，朴素的算法是O(N*N).我们也能够想到用到二叉树结构的优先队列来求解最小值和次小值。此时的时间复杂度减为了O(NlogN).

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 20000 + 10;

int N,L[MAXN];

LL solve(){
   LL ans = 0;

   //直到计算到一块木板时为止
   while(N > 1){
     //寻找最小值，次小值
     int mii1 = 0,mii2 = 1;
     if(L[mii1] > L[mii2]) swap(mii1,mii2);
     for(int i = 2; i < N; ++i){
        if(L[i] < L[mii1]){
            mii2 = mii1;
            mii1 = i;
        }
        else if(L[i] < L[mii2]){
            mii2 = i;
        }
     }
     int t = L[mii1] + L[mii2];           //合并
     ans += t;

     if(mii1 == N-1) swap(mii1,mii2);
     L[mii1] = t;
     L[mii2] = L[N-1];
     N--;
   }
   return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&N);
    for(int i = 0;i < N;++i){
        scanf("%d",&L[i]);
    }
    printf("%lld\n",solve());
    return 0;
}

使用STL中的priority_queue实现。

时间复杂度为O(N*logN).

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 20000 + 10;

int N,L[MAXN];

LL solve(){
   LL ans = 0;

   priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > que;
   for(int i = 0;i < N;++i){
       que.push(L[i]);
   }

   while(que.size() > 1){
       int l1,l2;
       l1 = que.top();
       que.pop();
       l2 = que.top();
       que.pop();

       ans += l1 + l2;
       que.push(l1+l2);
   }
   return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&N);
    for(int i = 0;i < N;++i){
        scanf("%d",&L[i]);
    }
    printf("%lld\n",solve());
    return 0;
}

使用手写堆实现。时间复杂度O(N*logN)。

堆实现模板：

//堆的实现
int heap[MAXN << 2],sz = 0 ;

void push(int x){
   //自己结点的编号
   int i = sz++;
   while(i > 0){
      //父亲结点的编号
      int p = (i - 1) >> 1;

      //假设已经没有大小颠倒则退出
      if(heap[p] <= x)break;

      //把父亲结点的数值放下来。而把自己提上去
      heap[i] = heap[p];
      i = p;
   }
   heap[i] = x;
}

int pop(){
   //最小值
   int ret = heap[0];

   //要提到根的数值
   int x = heap[--sz];

   //从根開始向下交换
   int i = 0;
   while((i << 1 | 1) < sz){
      //比較儿子
      int a = i << 1 | 1,b = (i << 1) + 2;
      if(b < sz && heap[b] < heap[a]) a = b;

      // 假设没有大小颠倒则退出
      if(heap[a] >= x) break;

      //把儿子提上来
      heap[i] = heap[a];
      i = a;
   }

   heap[i] = x;
   return ret;
}