[ BZOJ 4318 & 3450 / CodeForces 235 B ] OSU!

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\(Description\)

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一共进行\(N\)次操作，生成一个长度为\(N\)的\(01\)序列，成功对应\(1\)，失败对应\(0\)，已知每一次操作的成功率\(p_i\)。

在这个序列中连续且极长的\(X\)个\(1\)可以贡献\(X^2\)的分数，求期望总分。

• \(N\in [1,10^5]\)

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\(Solution\)

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• 考虑增量的思路很可以啊。长度平方的期望并不等于期望长度的平方。所以需要直接考虑长度平方的期望变化。

• 当长度从\(X\)增加到\(X+1\)，\(\Delta X^2=(X+1)^2-X^2=2X+1\)，所以维护答案只需要考虑长度的期望。

• 考虑一次的答案期望\(x_1[i]\)表示到第\(i\)个位置为止的长度期望，有\(x_1[i]=(x_1[i-1]+1)\times p_i\)，代表继承上一个为止的期望长度会\(+1\)，但保证第\(i\)位合法，需要乘上\(p_i\)。

• 然后到第\(i\)个位置的平方期望就可以转移自第\(i-1\)个位置，注意增量是有概率的。

  \[ans[i]=ans[i-1]+(2x_1[i]+1)\times p_i
  \]

\(\\\)

\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 300010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

int n;
double p[N],x1[N],ans[N];

inline double calc(char x){
  return x=='x'?0.0:(x=='o'?1.0:0.5);
}

int main(){
  scanf("%d",&n);
  char c=gc();
  while(c!='o'&&c!='x'&&c!='?') c=gc();
  p[1]=calc(c);
  for(R int i=2;i<=n;++i) p[i]=calc(gc());
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    x1[i]=(x1[i-1]+1)*p[i];
    ans[i]=ans[i-1]+(x1[i-1]*2+1)*p[i];
  }
  printf("%.4lf",ans[n]);
  return 0;
}

\(\\\)

\(Extra\)

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得分改为\(X^3\)，求分数的期望。

\(\\\)

\(Solution\)

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• 同样考虑增量，有\(\Delta X^3=(X+1)^3-X^3=X^3+3X^2+3X+1-X^3=3X^2+3X+1\)

• 于是维护\(x_1[i]\)代表长度的期望，\(x_2[i]\)表示长度平方的期望，有：

  \[x_1[i]=(x_1[i-1]+1)\times p_i
  \]
  \[x_2[i]=x_2[i-1]+2x_1[i]+1\times p_i
  \]

• 更新答案方式相同，有\(ans[i]=ans[i-1]+(3x_2[i]+3x_1[i]+1)\times p_i\)。

• 解释一下\(ans[i-1]\)的部分，它代表的是前一位置的答案，这一位置是否对答案有贡献是有概率的，而增量是后面括起来的部分。

\(\\\)

\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

inline double rdd(){
  double x=0,base=1; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=x*10+(c^48);c=gc();}
  if(c=='.'){
    c=gc();
    while(isdigit(c)){x+=(base/=10)*(c^48);c=gc();}
  }
  return f?-x:x;
}

int n;
double p[N],x1[N],x2[N],ans[N];

int main(){
  n=rd();
  for(R int i=1;i<=n;++i) p[i]=rdd();
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    x1[i]=(x1[i-1]+1)*p[i];
    x2[i]=(x2[i-1]+x1[i-1]*2+1)*p[i];
    ans[i]=ans[i-1]+(x2[i-1]*3+x1[i-1]*3+1)*p[i];
  }
  printf("%.1lf",ans[n]);
  return 0;
}