浅谈线段树 （例题：[USACO08FEB]酒店Hotel）By cellur925

今天我们说说线段树。

我个人还是非常欣赏这种数据结构的。（逃）因为它足够优美，有递归结构，有左子树和右子树，还有二分的思想。

emm这个文章打算自用，就不写那些基本的操作了...

1°　　简单的懒标记（仅含加法）

当我们进行区间修改（比如同时加上一个数）时，我们现在也许暂时不用它，可以当需要用的时候再改。这个时候我们就需要做个标记，这个标记就是懒标记，$lazy$。如果在后续的指令中需要从p向下递归，我们这时候检查它是否有标记。若有，就按照标记更新两个子节点，同时为子节点增加标记，清除p的标记。

比如最简单的区间修改（加法）

void spread(int p)
{
　　 if(t[p].l==t[p].r) return ;
    t[p*].val+=t[p].lazy*(t[p*].r-t[p*].l+);
    t[p*+].val+=t[p].lazy*(t[p*+].r-t[p*+].l+);
//标记释放威力
    t[p*].lazy+=t[p].lazy;
    t[p*+].lazy+=t[p].lazy;
//标记下传
    t[p].lazy=;
//清空自身标记
}

也就是说，其实标记是为自己的儿子们准备的，而自己已经修改了。当自己的儿子接手了标记的衣钵，父亲也就不需要存在标记的。

• 　我的习惯：$spread$常写，函数内判断条件苛刻。
• 一个习惯的change函数写法：
  • • 　

      void change(int p,int l,int r,int op)
      {//op==1 I have rooms!
       //op==2 I lose rooms!
           spread(p); //标记下放
          if(t[p].l==l&&t[p].r==r)//边界判断
          {
              if(op==) t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].sum=t[p].r-t[p].l+;
              else t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].sum=;
              t[p].lazy=op;//这里也有懒标记更新
              return ;
          }
          int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
          if(l>mid) change(p*+,l,r,op);
          else if(r<=mid) change(p*,l,r,op);//标记判断
          else change(p*,l,mid,op),change(p*+,mid+,r,op);
      　　//更新
          renew(p);
      }

例题1  【模板】线段树 1

裸的懒标记应用。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define maxn 100090

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int n,m;
 int a[maxn];
 struct SegmentTree{
     int l,r;
     ll lazy,val;
 }t[maxn*];

 void build(int p,int l,int r)
 {
     t[p].l=l,t[p].r=r;
     if(l==r)
     {
         t[p].val=a[l];
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     build(p*,l,mid);
     build(p*+,mid+,r);
     t[p].val=t[p*].val+t[p*+].val;
 }

 void spread(int p)
 {
     if(t[p].l==t[p].r) return ;
     t[p*].val+=t[p].lazy*(t[p*].r-t[p*].l+);
     t[p*+].val+=t[p].lazy*(t[p*+].r-t[p*+].l+);
     t[p*].lazy+=t[p].lazy;
     t[p*+].lazy+=t[p].lazy;
     t[p].lazy=;
 }

 void change(int p,int l,int r,int k)
 {
     spread(p);
     if(t[p].l==l&&t[p].r==r)
     {
         t[p].val+=k*(r-l+);
         t[p].lazy+=k;
         return ;
     }
     int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
     if(l>mid) change(p*+,l,r,k);
     else if(r<=mid) change(p*,l,r,k);
     else change(p*,l,mid,k),change(p*+,mid+,r,k);
     t[p].val=t[p*].val+t[p*+].val;
 }

 ll ask(int p,int l,int r)
 {
     spread(p);
     if(t[p].l==l&&t[p].r==r) return t[p].val;
     int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
     if(l>mid) return ask(p*+,l,r);
     else if(r<=mid) return ask(p*,l,r);
     else return ask(p*,l,mid)+ask(p*+,mid+,r);
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",&a[i]);
     build(,,n);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int opt=;
         scanf("%d",&opt);
         if(opt==)
         {
             int x=,y=,k=;
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
             change(,x,y,k);
         }
         else if(opt==)
         {
             int x=,y=;
             scanf("%d%d",&x,&y);
             printf("%lld\n",ask(,x,y));
         }
     }
     return ;
 }

例题2 [USACO08FEB]酒店Hotel

By hzwer

题解

线段树

每个节点记录该段最长连续长度

为了合并还要记录坐标开始的连续长度，右边开始的连续长度

这里用到了线段树中另一个常见的思想。平常我们用线段树大多都是在维护一个值，而遇到一些复杂的信息需要维护时，我们就很难纯粹地加加减减，那么我们不妨换一种思路，多维护一些信息。最早应用这个思想的是最大子段和的维护，详情戳。（当时我还在$tsoi$讲过内qwq）就是多维护了$lmax$,$rmax$。这样父亲线段的最值可以由左儿子的$val$、右儿子的$val$、左儿子的$rmax$加右儿子的$lmax$更新维护来。

那么回到本题：一句话题意就是在维护，最大连续空房。综合之前分析，知道如何用懒标记还有知道需要维护哪些信息后，这道题就比较简单了。

$Code$

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define maxn 50090

 using namespace std;

 int n,m;
 struct SegmentTree{
     int l,r;
     int lazy;
     int rmax,lmax,sum;
 }t[maxn*];

 void build(int p,int l,int r)
 {
     t[p].l=l,t[p].r=r;
     t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].sum=r-l+;
     if(l==r) return ;
     int mid=(l+r)>>;
     build(p*,l,mid);
     build(p*+,mid+,r);
 }

 void spread(int p)
 {
     if(t[p].l==t[p].r) return ;
     if(t[p].lazy==)
     {
         t[p*].lazy=t[p*+].lazy=;
         t[p*].lmax=t[p*].rmax=t[p*+].lmax=t[p*+].rmax=;
         t[p*].sum=t[p*+].sum=;
     }
     else if(t[p].lazy==)
     {
         t[p*].lazy=t[p*+].lazy=;
         t[p*].lmax=t[p*].rmax=t[p*].sum=t[p*].r-t[p*].l+;
         t[p*+].lmax=t[p*+].rmax=t[p*+].sum=t[p*+].r-t[p*+].l+;
     }
     t[p].lazy=;
 }

 void renew(int p)
 {
     if(t[p*].sum==t[p*].r-t[p*].l+)
         t[p].lmax=t[p*].r-t[p*].l++t[p*+].lmax;
     else t[p].lmax=t[p*].lmax;
     if(t[p*+].sum==t[p*+].r-t[p*+].l+)
         t[p].rmax=t[p*+].r-t[p*+].l++t[p*].rmax;
     else t[p].rmax=t[p*+].rmax;
     t[p].sum=max(max(t[p*].sum,t[p*+].sum),t[p*].rmax+t[p*+].lmax);
 }

 void change(int p,int l,int r,int op)
 {//op==1 I have rooms!
  //op==2 I lose rooms!
      spread(p);
     if(t[p].l==l&&t[p].r==r)
     {
         if(op==) t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].sum=t[p].r-t[p].l+;
         else t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].sum=;
         t[p].lazy=op;
         return ;
     }
     int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
     if(l>mid) change(p*+,l,r,op);
     else if(r<=mid) change(p*,l,r,op);
     else change(p*,l,mid,op),change(p*+,mid+,r,op);
     renew(p);
 }

 int ask(int p,int len)
 {
     spread(p);
     int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
     if(t[p].l==t[p].r) return t[p].l;//找到真正精确的地方了
     if(t[p*].sum>=len) return ask(p*,len);
     //左面就已经有足够空房 继续向下找更小更精细的
     else if(t[p*].rmax+t[p*+].lmax>=len) return mid-t[p*].rmax+;
     //跨越边界的部分有足够空房
     else return    ask(p*+,len);
     //否则只能去右子树找连续空房
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     build(,,n);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int opt=;
         scanf("%d",&opt);
         if(opt==)
         {
             int x=;
             scanf("%d",&x);
             if(t[].sum<x){printf("0\n");continue;}
             int tmp=ask(,x);
             printf("%d\n",tmp);
             change(,tmp,tmp+x-,);
         }
         else if(opt==)
         {
             int x=,y=;
             scanf("%d%d",&x,&y);
             change(,x,x+y-,);
         }
     }
     return ;
 }

Update：话说最近做了不少（？）线段树，有一种感觉十分友好，就是那种操作一定数量后操作失效的（如开方），那么我们可以记录一个区间最大值来检验是否还需要操作，思想很妙。

还有：线段树这种用左儿子+右儿子+左右儿子交界来更新答案的这种思想，最初是在维护最大子段和看到的。

Update：同时维护区间乘法&区间加法？再加一个懒标记记录乘法！要注意的是区间乘法修改时加法懒标记也要乘上修改值，$update$时加法懒标记也要乘上修改值，也就是加法一直在听着乘法的话。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define maxn 100090

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int n,m;
 int seq[maxn];
 ll moder;
 struct SegmentTree{
     int l,r;
     ll lazy1,lazy2,sum;
 }t[maxn*];

 void build(int p,int l,int r)
 {
     t[p].l=l,t[p].r=r,t[p].lazy1=;
     if(l==r)
     {
         t[p].sum=seq[l];
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     build(p<<,l,mid);
     build(p<<|,mid+,r);
     t[p].sum=(t[p<<].sum+t[p<<|].sum)%moder;
 }

 void update(int p)
 {
     if(!t[p].lazy2&&t[p].lazy1==) return ;
     if(t[p].l==t[p].r) return ;
     ll add=t[p].lazy2,mul=t[p].lazy1;
     (t[p<<].lazy1*=mul)%=moder;
     (t[p<<|].lazy1*=mul)%=moder;
     (t[p<<].lazy2*=mul)%=moder;
     (t[p<<|].lazy2*=mul)%=moder;
     (t[p<<].lazy2+=add)%=moder;
     (t[p<<|].lazy2+=add)%=moder;
     t[p<<].sum=(mul*t[p<<].sum%moder+1ll*add*(t[p<<].r-t[p<<].l+)%moder)%moder;
     t[p<<|].sum=(mul*t[p<<|].sum%moder+1ll*add*(t[p<<|].r-t[p<<|].l+)%moder)%moder;
     t[p].lazy1=;
     t[p].lazy2=;
 }

 void change(int p,int l,int r,ll k,int op)
 {
     update(p);
     if(t[p].l==l&&t[p].r==r)
     {
         if(op==) (t[p].sum*=k)%=moder,(t[p].lazy1*=k)%=moder,(t[p].lazy2*=k)%moder;
         else (t[p].sum+=k*(r-l+))%=moder,(t[p].lazy2+=k)%moder;
         return ;
     }
     int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
     if(l>mid) change(p<<|,l,r,k,op);
     else if(r<=mid) change(p<<,l,r,k,op);
     else change(p<<,l,mid,k,op),change(p<<|,mid+,r,k,op);
     t[p].sum=(t[p<<].sum+t[p<<|].sum)%moder;
 }

 ll ask(int p,int l,int r)
 {
     update(p);
     if(t[p].l==l&&t[p].r==r) return t[p].sum;
     int mid=(t[p].l+t[p].r)>>;
     if(l>mid) return ask(p<<|,l,r);
     else if(r<=mid) return ask(p<<,l,r);
     else return (ask(p<<,l,mid)%moder+ask(p<<|,mid+,r)%moder)%moder;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d%lld",&n,&m,&moder);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&seq[i]);
     build(,,n);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int op=,x=,y=;ll k=;
         scanf("%d",&op);
         if(op==)
         {
             scanf("%d%d%lld",&x,&y,&k);
             change(,x,y,k,);
         }
         else if(op==)
         {
             scanf("%d%d%lld",&x,&y,&k);
             change(,x,y,k,);
         }
         else if(op==)
         {
             scanf("%d%d",&x,&y);
             printf("%lld\n",ask(,x,y)%moder);
         }
     }
     return ;
 }