NC21467 [NOIP2018]货币系统

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题目

题目描述

在网友的国度中共有n种不同面额的货币，第i种货币的面额为a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为n、面额数组为a[1..n]的货币系统记作(n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数x，都存在n个非负整数t[i] 满足a[i] x t[i] 的和为x。然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额x不能被该货币系统表示出。例如在货币系统n=3, a=[2,5,9]中，金额1,3就无法被表示出来。

两个货币系统(n,a)和(m,b)是等价的，当且仅当对于任意非负整数x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统(m,b)，满足(m,b) 与原来的货币系统(n,a)等价，且m尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的m。

输入描述

输入的第一行包含一个整数T,表示数据组数。接下来按照如下格式分别给出T组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数n。接下来一行包含n个由空格隔开的正整数a[i]。

输出描述

输出文件共T行, 对于每组数据, 输出一行一个正整数, 表示所有与(n, a)等价的货币系统(m, b)中, 最小的m。

示例1

输入

2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

输出

2
5

说明

在第一组数据中，货币系统(2, [3,10])和给出的货币系统(n, a)等价，并可以验证不存在m < 2的等价的货币系统，因此答案为2。

在第二组数据中，可以验证不存在m < n的等价的货币系统，因此答案为5。

备注

1 <= T <= 20, 1 <= n <= 100, 1 <= a[i] <= 25000

题解

知识点：背包dp。

思路想到就很好写，题目要求找到最小的等价货币系统，实际上只要把给出的货币系统的重复面额删除即可，剩下的一定是无法通过已有货币表出的。

于是这是一个类似完全背包的写法，设 \(dp[j]\) 为面额为 \(j\) 是否能被表出。考虑到第 \(i\) 个货币面额时，转移方程有：

\[dp[j] |= dp[j-a[i]]
\]

把能表出的都标记上，正序转移，因为面额能无限次用。每次遍历前检查货币是否已经被表出即可。

时间复杂度 \(O(n\log n + n \max(a_i))\)

空间复杂度 \(O(n+\max(a_i))\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int a[107];
bool dp[25007];

bool solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);
    int ans = n;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = 1;
    ///删去能被其他面额组成的元素
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        if (dp[a[i]]) {///之前有没有被组成
            ans--;
            continue;
        }
        for (int j = a[i];j <= a[n];j++)///完全背包
            dp[j] |= dp[j - a[i]];
    }
    cout << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}