poj1637--Sightseeing tour（最大流）

最大流求混合图是否存在欧拉回路。

以下内容摘自http://www.cnblogs.com/Missa/archive/2012/12/05/2803107.html 讲的很清楚。

混合图的欧拉回路问题

 欧拉回路问题。

1 定义 欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (Euler  circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图——存在欧拉回路的图。

2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定 G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。 G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定 D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。 D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。

5 混合图欧拉回路 混合图欧拉回路用的是网络流。

  把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2，得 x。即是说，对于每一个点，只要将 x 条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限 1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u，连接边(u, t)、容量为 x，对于出 > 入的点 v，连接边(s, v)，容量为 x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是 1，流值不是 0 就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有 x 条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和 s、t 连接的点怎么办？和s 连接的条件是出 > 入，和 t 连接的条件是入 > 出，那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。 所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

代码：

/***********************************************
Problem: 1637		User: G_lory
Memory: 328K		Time: 141MS
Language: C++		Result: Accepted
***********************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#define pk puts("kk");

using namespace std;

const int N = 205;
const int INF = 0x7fffffff;

int cap[N][N];
int flow[N];
int pre[N];
queue<int> q;

int bfs(int src, int des)
{
    while (!q.empty()) q.pop();
    memset(pre, -1, sizeof pre);
    q.push(src);
    flow[src] = INF;
    while (!q.empty())
    {
        int idx = q.front();
        if (idx == des) break;
        q.pop();
        for (int i = 0; i <= des; ++i)
        {
            if (pre[i] == -1 && cap[idx][i] > 0)
            {
                flow[i] = min(flow[idx], cap[idx][i]);
                pre[i] = idx;
                q.push(i);
            }
        }
    }
    if (pre[des] == -1) return -1;
    return flow[des];
}

int maxFlow(int src, int des)
{
    int ans = 0;
    int in;
    while ((in = bfs(src, des)) != -1)
    {
        int k = des;
        while (k != src)
        {
            int last = pre[k];
            cap[last][k] -= in;
            cap[k][last] += in;
            k = last;
        }
        ans += in;
    }
    return ans;
}

int in[N];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        int n, m;
        memset(cap, 0, sizeof cap);
        memset(flow, 0, sizeof flow);
        memset(in, 0, sizeof in);
        scanf("%d%d", &n, &m);
        int a, b, c;

        while (m--)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            in[a]--; in[b]++;
            if (c == 0) cap[a][b]++;
        }

        int flag = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if (in[i] & 1)
            {
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        if (!flag)
        {
            puts("impossible");
            continue;
        }
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if (in[i] < 0) cap[0][i] += ((-in[i]) >> 1);
            else if (in[i] > 0)
            {
                sum += (in[i] >> 1);
                cap[i][n + 1] += (in[i] >> 1);
            }
        }
        if (sum == maxFlow(0, n + 1)) puts("possible");
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}