CF1503E 2-Coloring

cjx 组合强。

思路

观察一下题目，不难发现只有当黄色形成如下的单峰时才合法。

（染错色了，将就一下）

其中两座峰的峰顶高度相加等于 \(m\)，为了方便统计，我们钦定右边的峰一定在左峰下方的行出现，最后答案乘以二就是最终方案。

发现对于每一边是两个最长不下降子序列拼在一起。

设 \(f[i][j]\) 为长度为 \(i\) 的最长不下降子序列，最高点高度为 \(j\) 的方案数。

再设 \(f'[i][j]\) 为长度为 \(i\) 的最长不下降子序列，仅有一个最高点为 \(j\) 的方案数。

答案就是

\[2\times \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^{n}\sum_{k=1}^{m-1} (f[i][k]\times f'[n-i+1][k])\times (f'[j][m-k]\times f[n-j+1][m-k])
\]

相当于枚举第一个峰在行 \(i\)，第二个峰在行 \(j\)，第一个峰高度为 \(k\)。

变幻一下：

\[2\times \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{m-1}(f[i][k]\times f'[n-i+1][k])\times \sum_{j=i+1}^{n} (f'[j][m-k]\times f[n-j+1][m-k])
\]

这样给后一个和式做一个后缀和优化，即可把复杂度优化到 \(O(n^2)\) 级别。

当然有例外是这个样子。

两峰交在一起（必须保证在连续的行且峰顶高度相加大于 \(m\)），也是一种方案。

\[2\times \sum_{i=1}^n\sum_{x=1}^{m-1}\sum_{y=1}^{m-1} (f[i][x]\times \sum_{k=1}^{y-1} f[n-i][k])\times (f[n-i][y]\times\sum_{k=1}^{x-1}f[i][k])
\]

相当于枚举左边的峰顶在行 \(i\)，左峰高度为 \(x\)，右峰高度为 \(y\)，同时求和了峰过后的一段不下降子序列的方案。

\[2\times \sum_{i=1}^n\sum_{x=1}^{m-1} (f[i][x]\times\sum_{k=1}^{x-1}f[i][k] )\sum_{y=1}^{m-1} (f[n-i][y]\times\sum_{k=1}^{y-1} f[n-i][k])
\]

对于 \(\sum_{k=1}^{x-1}f[i][k]\) 和 \(\sum_{k=1}^{y-1} f[n-i][k]\) 前缀和优化。

然后预处理出所有的

\[f[n-i][y]\times\sum_{k=1}^{y-1} f[n-i][k]
\]

再次前缀和。

即可在 \(O(n^2)\) 的时间内求出上述和式。

对于 \(f\) 和 \(f'\) 的转移是容易的。

\[f[i][j]=\sum_{k=1}^j f[i-1][k]
\]

\[f'[i][j]=\sum_{k=1}^{j-1} f[i-1][k]
\]

初始值 \(f[0][0]=1\)。

其实你看到这里，已经可以使用 dp 做出本题了，但是如果你想进一步了解组合，请移步。

不难发现，我们每次的转移都相当于求一次前缀和，而 \(f[0][0]=1\)。

所以有可以构造这样的生成函数：

\[f[0]=1
\]

观察 \(\sum_{i=0} x^i\) 的优雅性质，你会发现 \(1\times \sum_{i=0} x^i\) 相当于求一次前缀和。

而 \((\sum_{i=0} x^i)^2\) 相当于求两次前缀和（\(x^i\) 的系数是第 \(i\) 项的求前缀和后的值）。

由 \(f[0]\) 转移到 \(f[1]\) 的过程相当于乘以 \(\sum_{i=0} x^i\)（一次前缀和），所以有：

\[f[1][j]=[x^j](\sum_{k=0} x^k)^1
\]

推广一下，每次 \(f[i]\) 向 \(f[i+1]\) 的转移都是乘以 \(\sum_{i=0} x^i\)（每转移一次求一次前缀和），所以有：

\[f[i][j]=[x^j](\sum_{k=0}x^k)^i
\]

对于 \(\sum_{i=0} x^i\)，的封闭形式为 \((1-x)^{-1}\) 有很多种方法求，这里不再赘述。

所以有：

\[f[i][j]=[x^j](1-x)^{-i}
\]

使用广义二项式展开 \((1+(-x))^{-i}\)，即可得到第 \(j\) 项的系数为：

\[\binom{-i}{j}=(-1)^j\binom{i+j-1}{j}
\]

关于牛顿二项式系数，已经有完备的公式，本处直接套公式即可，故不再展开讨论。

把系数乘上 \((-x)^j\)，有

\[f[i][j]=\binom{i+j-1}{j}
\]

从比较简单的组合意义考虑，有 \(j\) 个球，有 \(i-1\) 个挡板，可以为空，两个挡板之间的球数相当于相邻两项的差。

那么有：

\[f[i][j]=\binom{i+j-1}{i-1}=\binom{i+j-1}{j}
\]

在观察一下 \(f'\) 求值的式子，你会发现 \(f'[i][j]=f[i][j-1]\)。

所以其实你也求出 \(f'\) 的组合意义了。

相当于有 \(j\) 个球，\(i-1\) 个挡板，最后一个挡板至少挡一个球，那么就可以投入 \(j-1\) 个球供所有挡板挡。

\[f'[i][j]=\binom{i+j-2}{j-1}
\]

如果考虑生成函数的话，\(f'[i][j]\) 相当于较 \(f[i][j]\) 向后平移了一个位置，那么可以写成：

\[f'[i][j]=[x^{j-1}](1-x)^{-i}
\]

或

\[f'[i][j]=[x^j](1-x)^{-i}x
\]

于是你就可以愉快的 AC 本题了。

CODE

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define N 5000

#define mod 998244353

const int maxn=5e3+5;

ll n,m,ans;

ll fac[maxn],inv[maxn],f[maxn];

inline ll ksm(ll x,ll y)

{

    ll sum=1;

    for(;y;y/=2,x=x*x%mod) if(y&1) sum=sum*x%mod;

    return sum;

}

inline ll C(int n,int m)

{

    if(n<m||m<0) return 0;

    return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;

}

int main()

{

    freopen("magic.in","r",stdin);

    freopen("magic.out","w",stdout);

    for(int i=fac[0]=1;i<=N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

    inv[N]=ksm(fac[N],mod-2);

    for(int i=N-1;~i;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

    scanf("%lld%lld",&n,&m);

    for(int h=1;h<n;h++)

    {

        for(int j=m;j>=2;j--)

        {

            f[j]=(1LL*f[j+1]+1LL*C(j+n-h-2,n-h-1)*C(m-j+n-h,n-h)%mod)%mod;

        }

        for(int i=m-1;i>=1;i--)

        {

            ans = (1LL*ans+1LL*C(i+h-1,h)*C(m-i+1+h-2,h-1)%mod*f[i+1]%mod)%mod;

        }

    }

    memset(f,0,sizeof(f));

    for(int x=1;x<=m;x++)

    {

        for(int j=n-1;j>=1;j--)

        {

            f[j]=(1LL*f[j+1]+1LL*C(m-x+n-j-1,n-j-1)*C(m-x+j-1,j)%mod)%mod;

        }

        for(int i=1;i<n;i++)

        {

            ans=(1LL*ans+1LL*C(x+i-1,i)*C(x+n-i-1,n-i-1)%mod*f[n-i+1]%mod)%mod;

        }

    }

    printf("%lld\n",ans*2%mod);

}