CDOJ 1277 智商杯考试 每周一题 div2 二分+数学

智商杯考试

题目连接：

http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/1277

Description

你是一个挂科选手。

你现在正在考试，你很方。

你参加的考试叫做智商杯考试。

这个考试很奇怪，考试一开始就把所有答案全部发给你了，但是并不告诉你答案和考试题目的对应关系，也就是说你根本不知道这个答案是哪个题目的。

由于智商低的原因，你根本看不懂题目，所以从题目来推断答案究竟属于哪个题目是不可能的……

但是别慌，你可以向监考老师提问嘛。

智商杯的监考老师可是很人道的哦。

他允许你一次性最多问m个答案的对应关系，他会告诉你这m个答案对应哪m道题，当然，他不会告诉你具体的对应关系。 比如：

你可以问：1,2,3号答案对应哪些问题？
监考老师说：对应3,7,9号问题。

假设你比较蛋疼，你问：1,1,2,3号对应哪些问题？
监考老师说：对应3,7,9号问题。

现在问题来了，考试一共有n道问题，你每次提问最多提及m个答案，你需要最少问多少次呢？

Input

两个整数，1<=n,m<=1e9。

Output

输出一个整数，表示最少询问次数。

Sample Input

15 4

Sample Output

6

Hint

题意

题解：

每周一题 题解

div2 智商杯考试

首先这道题正面想比较麻烦。

现在我们假设你知道了MaxN(m,k)，即表示每次最多提及m个问题，我询问k次，最多知道多少个答案和题目对应的这个函数。

那么我直接二分答案就好了

只要解决了MaxN(m,k)，那么原题就解决了。

然后怎么去处理这个呢？

我们这样想，我们一开始有n个k位二进制数，如果在第i轮回答中提及到了第j个问题的话，那么就令第j个二进制数的第i位为1。

分析一下样例一，n = 4，k = 2,m = 2的情况：

1 0 1 0

1 1 0 0

可以看到第一个问题的序列是11，第二个问题的序列是01，第三个是10，第四个是00

由于这些二进制数都不一样，因此你能分辨出来。

只要我们最后的n个k位二进制数全部不一样，你就能分辨。

这个证明也很简单，如果有两个二进制数相同的话，那么肯定就可以交换着两个的问题的对应关系了。

那么我们怎么去询问，才能使得1的个数尽量少，且问的问题多呢？

贪心。

C(k,0)个问题，我不提及;C(k,1)个问题，我就只提及一次;C(k,2)个问题，我提及两次........C(k,r)个问题，我提及r次。

这样，最后的矩阵构造是这样的：

0 1 0 0 1 1 ... 1

0 0 1 0 1 0 ... 1

0 0 0 1 0 1 ... 1

. . . . . . ... 1

. . . . . . ... 1

0 0 0 0 0 0 ... 1

然后最后再Check一下整个矩阵的1的个数是否超过k*m，。

于是，这道题就解决了！

有人问，为什么我们只用check总共1的个数是否超过k*m，而不去check每一行的1的个数是否超过m。

其实你去check两个也是可以的，这个复杂度在本题也是可以接受的。

但是为什么呢？

证明如下：

假设我们满足总共1的个数不超过k*m,但是存在某一些位的1的个数超过了m。

那么必然存在一些位的1的个数少于m。

我们选择其中一个超过m的位X，选择其中一个少于m的位Y。

然后我们再从n个串中找到x个在X位为1，Y位为0的串，找到y个在X位中为0，Y位中为1的串。

也是显然知道x>y。

对于x个串，我们都将第X位置成0，Y位置成1，显然这x个串仍然都是各不相同的，且最多在y串中找到一个和他相同的。

因为x>y，所以肯定能够找到一个串是在y串没有与之对应的，那么我们只要变这个串就好了。

这样我们就得到了，X位置的1的总数-1，Y位置的1的总数+1了。

这样总共1的个数是没有变的。

所以只要满足总共1的个数不要超过k*m就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int check(long long k)
{
    if(k<=30&&n>(1<<k))return 0;
    long long t = 1LL*k*m;
    long long N = n;
    long long C = 1;
    long long ans = 0;
    for(int i=0;N>0;i++)
    {
        long long p = min(C,N);
        N-=p;
        ans+=p*i;
        C = C*(k-i)/(i+1);
        //cout<<i<<" "<<N<<" "<<p<<endl;
    }
    return ans<=t?1:0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int l = 0,r = n;
    int ans = 0;
    while(l<=r)
    {
        int mid = (l+r)/2;
        if(check(mid))r=mid-1,ans=mid;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<ans<<endl;
}