[图解算法]线性时间选择Linear Select——<递归与分治策略>

 #include <ctime>
 #include <iostream>
 using namespace std;   

 template <class Type>
 void Swap(Type &x,Type &y);  

 inline int Random(int x, int y);  

 template <class Type>
 void BubbleSort(Type a[],int p,int r);  

 template <class Type>
 int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);  

 template <class Type>
 Type Select(Type a[],int p,int r,int k);  

 void main()
 {
     //初始化数组
     int a[];  

     //必须放在循环体外面
     srand((unsigned)time());  

     for(int i=; i<; i++)
     {
         a[i] = Random(,);
         cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";
     }
     cout<<endl; 

     cout<<"第23小元素是"<<Select(a,,,)<<endl;  

     //重新排序，对比结果
     BubbleSort(a,,);
     for(i=; i<; i++)
     {
         cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
 }  

 template <class Type>
 void Swap(Type &x,Type &y)
 {
     Type temp = x;
     x = y;
     y = temp;
 }  

 inline int Random(int x, int y)
 {
      int ran_num = rand() % (y - x) + x;
      return ran_num;
 }  

 //冒泡排序
 template <class Type>
 void BubbleSort(Type a[],int p,int r)
 {
      //记录一次遍历中是否有元素的交换
      bool exchange;
      for(int i=p; i<r;i++)
      {
         exchange = false ;
         for(int j=; j<=r-i; j++)
         {
             if(a[j]<a[j-])
             {
                 Swap(a[j],a[j-]);
                 exchange = true;
             }
         }
         //如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束
         if(false == exchange)
         {
              break ;
         }
      }
 }  

 template <class Type>
 int Partition(Type a[],int p,int r,Type x)
 {
     int i = p-,j = r + ;  

     while(true)
     {
         while(a[++i]<x && i<r);
         while(a[--j]>x);
         if(i>=j)
         {
             break;
         }
         Swap(a[i],a[j]);
     }
     return j;
 }  

 template <class Type>
 Type Select(Type a[],int p,int r,int k)
 {
     if(r-p<)
     {
         BubbleSort(a,p,r);
         return a[p+k-];
     }
     //(r-p-4)/5相当于n-5
     for(int i=; i<=(r-p-)/; i++)
     {
         //将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置
         //使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数
         BubbleSort(a,p+*i,p+*i+);
         Swap(a[p+*i+],a[p+i]);
     }
     //找中位数的中位数
     Type x = Select(a,p,p+(r-p-)/,(r-p-)/);
     i = Partition(a,p,r,x);
     int j = i-p+;
     if(k<=j)
     {
         return Select(a,p,i,k);
     }
     else
     {
         return Select(a,i+,r,k-j);
     }
 }  

提醒：此篇需要先理解快速排序。

[图解+例子]

一、建立随机数组

（共27个数）（代码中为100个数，为了放得下举的例子改为27个）

---

二、给线性时间选择函数Select()传参

Type a[]  数组a

int p  起始位置

int r   结束位置

int k   查找第k小

---

三、判断

元素个数<75  不需要线性选择--》直接进行冒泡排序返回a[p+k-1](第k小元素)

元素个数>75   进行线性选择  --》进行下一步

---

四、线性时间选择

　　1- 分组并取各组中位数 （将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置 ）【图中绿线12345表示要交换的一对对数据】

　　for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)
　　{
　　BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);
　　Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);
　　}

　　目的：使所有组的中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数

　　2- 查找中位数的中位数 

　　Type x = Select(a , p , p+(r-p-4)/5 , (r-p-4)/10 );

　　p到p+(r-p-4)/5为中位数的范围，p+(r-p-4)/5  ÷  2   =   (r-p-4)/10-->中位数的中位数

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

　　

　　3-用找到的中位数的中位数做为快速排序的标准进行一趟快速排序（前面有篇讲的快速排序为了方便直接用第一个做标准，也有用随机数做标准的）

　　i = Partition(a,p,r,x);

　　排序结束后，标准元素将数组分为三部分：左，标准元素，右。

　　快排讲过啦，这里快速排序省略图解啦 ！想看点这里 快速排序

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　　4-判断　

　　快速排序后看成三部分：左，标准元素，右。

　　左都比标准元素小，右都比它大；（此时左右还是乱序，只有标准元素找到了它最终应该排的位置，这里不清晰先看快速排序那篇文章）

　　所以判断下我们要找的第k小是比它大（在右）还是比它小（在左）；

　　int j = i-p+1;
　　if(k<=j)
　　{
　　　　return Select(a,p,i,k);
　　}
　　else
　　{
　　　　return Select(a,i+1,r,k-j);
　　}

　　i为快速排序返回值，j = i - 起始位置 + 1;

　　小于或者等于，对左半段重复上述操作（递归）；

　　反之，对右半段。

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[特例]

有空更新。。。

[总结]

线性时间选择其实就是————>>快速排序的加强版，

快速排序中的标准元素变为————>>分组后取得的各组中位数的中位数。

所以多了一步取中位数的操作而已。

本人保留解析著作权。

算法引用自 王晓东. 计算机算法设计与分析[M]. 电子工业出版社, 2012.