2019.06.17课件：[洛谷P1310]表达式的值 题解

P1310 表达式的值

题目描述

给你一个带括号的布尔表达式，其中+表示或操作|，*表示与操作&，先算*再算+。但是待操作的数字（布尔值）不输入。

求能使最终整个式子的值为0的方案数。

题外话

不久之前我在codewars上做过一道类似的题目。

以及把它搬运到了洛谷上。

布尔表达式计数问题

考虑这样一个问题：

有两个布尔变量\(x\)和\(y\)。

我们知道使\(x\)等于1的方案有\(x_1\)种，等于0的方案有\(x_0\)种；使\(y\)等于1的方案有\(y_1\)种，等于0的方案有\(y_0\)种。

那么：

使\(x\&y\)为1的方案数？为0的方案数？

使\(x|y\)为1的方案数？为0的方案数？

使\(x\oplus y\)（通常我们使用\(\oplus\)表示异或）为1的方案数？为0的方案数？

不难发现：

使\(x\&y\)为1，那么\(x\)和\(y\)都要为1，所以方案数为\(x_1*y_1\)。

使\(x\&y\)为0，那么\(x\)和\(y\)不能都为1，所以方案数为\(x_1*y_0+x_0*y_1+x_0*y_0\)。

使\(x|y\)为1的方案数为\(x_1*y_1+x_0*y_1+x_1*y_0\)，为0的方案数为\(x_0*y_0\)。

使\(x\oplus y\)为1的方案数为\(x_0*y_1+x_1*y_0\)，为0的方案数为\(x_0*y_0+x_1*y_1\)。

表达式树，前缀表达式，中缀表达式，后缀表达式

表达式树

\((1+2)*4\)

如上图，每个叶节点是一个数字，其他节点都是（双目）运算符。

整棵树表示一个表达式。每个子树表示一个子表达式。

计算这个表达式的方式如下图。

所以值为12。

中序遍历

中序遍历这个表达式树，我们发现得到的结果几乎和原来的表达式一样。

只是需要加一些括号罢了。

处理方法：我们可以给每个子树前后都加一对括号。

前/后序遍历

称前序遍历得到的式子为前缀表达式，或者波兰表达式。称后序遍历得到的式子为后缀表达式，或者逆波兰表达式。

前缀表达式和后缀表达式都拥有一个优秀的性质：不需要括号。

（下面仅以后缀表达式为例）

比如上文的\((1+2)*4\)，改为后缀表达式就是：\(1\ 2\ +\ 4\ *\)。

如何计算后缀表达式

我们可以用栈来处理：

遇到数字，入栈；遇到符号，从栈里取出两个数字，按照这个符号运算，然后把结果入栈。最后栈里剩下的就是结果。

\(1\ 2\ +\ 4\ *\)的计算过程如下：

1入栈	1
2入栈	1	2
1 2出栈，相加得3，3入栈	3
4入栈	3	4
3 4出栈，相乘得12，12入栈	12

所以答案是12。

如何转化为后缀表达式

你可以直接建树，跑后序遍历。

但是这样又不好写，又慢。

我们考虑用栈维护。

遍历中缀表达式：

1. 遇到数字，直接放入答案序列

2. 遇到左括号，入栈

3. 遇到右括号，把栈顶到上一个左括号的元素依次出栈并放入答案序列

4. 遇到乘号，入栈

5. 遇到加号，从栈顶开始弹出这段连续的乘号，并放入答案序列，最后加号入栈

6. 最后把栈里剩下的元素依次放入答案序列

为什么是正确的？

模拟\(1+1*2*(1+2)+3*2*(1*5)+1\)

说明	栈	答案序列
1放入答案序列		1
+入栈	+	1
1放入答案序列	+	11
*入栈	+*	11
2放入答案序列	+*	112
*入栈	+**	112
(入栈	+**(	112
1放入答案序列	+**(	1121
+入栈	+**(+	1121
2放入答案序列	+**(+	11212
出现)，+出栈并放入答案序列，(出栈	+**	11212+
出现+，弹出栈顶的*并放入答案序列，然后+入栈	++	11212+**
3放入答案序列	++	11212+**3
*入栈	++*	11212+**3
2放入答案序列	++*	11212+**32
*入栈	++**	11212+**32
(入栈	++**(	11212+**32
1放入答案序列	++**(	11212+**321
*入栈	++**(*	11212+**321
5放入答案序列	++**(*	11212+**3215
出现)，*出栈并放入答案序列，(出栈	++**	11212+**3215*
出现+，弹出栈顶的*并放入答案序列，然后+入栈	+++	11212+**3215***
1放入答案序列	+++	11212+**3215***1
剩余栈中元素放入答案序列		11212+**3215***1+++

所以答案是11212+**3215***1+++。

正确性？

\[\begin{aligned}
11212+**3215***1+++&=112(12+)**32(15*)**1+++\\
&=1123**325**1+++\\
&=11(23*)*3(25*)*1+++\\
&=116*3(10)*1+++\\
&=1(16*)(3(10)*)1+++\\
&=16(30)1+++\\
&=16(31)++\\
&=1(37)+\\
&=38\\
\\
1+1*2*(1+2)+3*2*(1*5)+1&=1+2*3+6*5+1\\
&=1+6+30+1\\
&=38\\
\end{aligned}
\]

P1310题解

首先在输入的表达式的恰当位置插入未知变量，然后转为后缀表达式。当然也可以一边转，一边插入未知变量。

之后，我们计算这个后缀表达式的值。不过维护的信息不再是表达式的值，而是使表达式值为0或1的方案数。

注意到单个变量为0或1的方案数为1.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &num)
{
    bool flag = 0;
    num = 0;
    char c = getchar();
    while ((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if (c == '-')
    {
        flag = 1;
        c = getchar();
    }
    num = c - '0';
    c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        num = (num << 3) + (num << 1) + c - '0', c = getchar();
    if (flag)
        num *= -1;
}
inline void output(int num)
{
    if (num < 0)
    {
        putchar('-');
        num = -num;
    }
    if (num >= 10)
        output(num / 10);
    putchar(num % 10 + '0');
}
inline void outln(int num)
{
    output(num);
    puts("");
}
inline void outln(string str)
{
    puts(str.c_str());
}
//以上为头文件和快读
const int mod = 10007;
const int N = 100001;
int n;
char str[N];			//输入的中缀表达式
stack<char> sta;		//转后缀表达式时使用的栈
string final;			//后缀表达式（答案序列）
stack<int> zero, one;	//zero维护使表达式值为0的方案个数，one维护使表达式值为1的方案个数
int main()
{
    read(n);
    scanf("%s", str + 1);
    final.push_back('n');					//后缀表达式最开始应该有一个未知变量
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (str[i] == '(' || str[i] == '*')	//遇到左括号或乘号，入栈
            sta.push(str[i]);
        if (str[i] == '+')					//遇到加号，弹出栈顶的乘号，然后加号入栈
        {
            while (!sta.empty() && sta.top() == '*')
            {
                final.push_back(sta.top());
                sta.pop();
            }
            sta.push(str[i]);
        }
        if (str[i] == ')')					//右括号，把到上一个左括号的元素出栈放入答案序列
        {
            while (sta.top() != '(')
            {
                final.push_back(sta.top());
                sta.pop();
            }
            sta.pop();
        }
        if (str[i] != '(' && str[i] != ')')	//当不是左括号或者右括号时，应该插入一个未知变量
        {
            final.push_back('n');
        }
    }
    while (!sta.empty())					//剩下的元素放入答案序列
    {
        final.push_back(sta.top());
        sta.pop();
    }
    for (char c : final)					//遍历后缀表达式，这里使用了c++11的写法，相当于
//	for (int i = 0; i < final.size(); i++)
//	{	char c = final[i];
    {
        if (c == 'n')						//单个变量，方案数为1
        {
            one.push(1);
            zero.push(1);
        }
        else
        {
            //rone表示右操作数（即上文中的y）为1的方案数（即上文中的y1），rzero同理
            int rone = one.top(), rzero = zero.top();
            one.pop();
            zero.pop();
            //同理
            int lone = one.top(), lzero = zero.top();
            one.pop();
            zero.pop();
            if (c == '*')	//与操作，为1需要都为1，为0需要不都为1
            {
                one.push(lone * rone % mod);
                zero.push((lone * rzero % mod + lzero * rone % mod + lzero * rzero % mod) % mod);
            }
            else			//或操作，为0需要都为0，为1需要不都为0
            {
                zero.push(lzero * rzero % mod);
                one.push((lone * rzero % mod + lzero * rone % mod + lone * rone % mod) % mod);
            }
        }
    }
    outln(zero.top());//需要整个表达式的值为0
}