MT【151】传球问题

(清华2017.4.29标准学术能力测试10）

甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了$4$次，则第四次球传回甲的概率是_____

解答:$\dfrac{7}{27}$

评:传球问题是染色问题的一种变形.记有$a_n$种传法,
一般的公式$a_n=\dfrac{[(m-1)^n+(-1)^n(m-1)]}{m}$其中$m$为传球人数,$n$ 为传球次数.传球问题的大绝招是用行列式去处理.

注:还可以利用概率做,设$n$次传球后回到甲的概率为$P_n$易知:$P_{n+1}=P_n*0+\dfrac{1}{3}(1-P_n);a_n=3^n*P_n$

注:更多限制条件下的传球问题终极做法是用行列式做

注:一个选择题直接出答案的解法:传到甲的总数与其他三人的次数相差1，如此题可以理解为甲21，其他三人各20.(如果传奇数次，反而甲少1了）