洛谷 P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和 解题报告

P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

题目描述

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

\[f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j \times (j!)
\]

\(S(i, j)\)表示第二类斯特林数，递推公式为:

\[S(i, j) = j \times S(i - 1, j) + S(i - 1, j - 1), 1 \le j \le i - 1
\]

边界条件为：

\[S(i, i) = 1(0 \le i), S(i, 0) = 0(1 \le i)
\]

你能帮帮他吗?

输入输出格式

输入格式：

输入只有一个正整数

输出格式：

输出\(f(n)\)。由于结果会很大，输出\(f(n)\)对\(998244353(7 × 17 × 2^{23} + 1)\)取模的结果即可。

说明

对于\(50\%\)数据\(1 ≤ n ≤5000\)

对于\(100\%\)数据\(1 ≤ n ≤ 100000\)

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迷迷糊糊的乱推...

\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^n\sum_{i=0}^i{i\brace j}2^jj!\\
=&\sum_{i=0}^n\sum_{i=0}^n{i\brace j}2^jj!\\
=&\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{i=0}^n{i\brace j}\\
=&\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\\
=&\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}
\end{aligned}
\]

\[A_i=\frac{(-1)^i}{i!},B_i=\sum_{k=0}^n\frac{k^i}{k!}
\]

然后卷一下子就行了。

注意一点，\(B_0=1\)，这个要代入原式的定义式得到。

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N=(1<<18)+10;
const int mod=998244353,G=3,Gi=332748118;
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
int n,A[N],B[N],len=1,L=-1,turn[N],ifac[N],fac[N];
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
void NTT(int *a,int typ)
{
    for(int i=1;i<len;i++) if(i<turn[i]) std::swap(a[i],a[turn[i]]);
    for(int le=1;le<len;le<<=1)
    {
        int wn=qp(typ?G:Gi,(mod-1)/(le<<1));
        for(int p=0;p<len;p+=le<<1)
        {
            int w=1;
            for(int i=p;i<p+le;i++,w=mul(w,wn))
            {
                int tx=a[i],ty=mul(w,a[i+le]);
                a[i]=add(tx,ty);
                a[i+le]=add(tx,mod-ty);
            }
        }
    }
    if(!typ)
    {
        int inv=qp(len,mod-2);
        for(int i=0;i<len;i++) a[i]=mul(a[i],inv);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(len<=n<<1) len<<=1,++L;
    for(int i=0;i<len;i++) turn[i]=turn[i>>1]>>1|(i&1)<<L;
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    ifac[n]=qp(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;~i;i--) ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
    A[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) A[i]=i&1?mod-ifac[i]:ifac[i];
    B[0]=1,B[1]=n+1;
    for(int i=2;i<=n;i++) B[i]=mul(qp(i,n+1)-1,mul(qp(i-1,mod-2),ifac[i]));
    NTT(A,1),NTT(B,1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);
    NTT(A,0);int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ans=add(ans,mul(qp(2,i),mul(fac[i],A[i])));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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2018.12.23