BZOJ 2142 礼物 组合数学 CRT 中国剩余定理

2142: 礼物

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Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100 4 2 1 2

Sample Output

12

【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

HINT

Source

Solution

根据题目大意可以列出式子C(n,sum)*C(sum, w[1])*C(sum-w[1], w[2])··········

如果p是质数的话，显然就是Lucas的裸题。

但现在p不是质数了，要怎么办呢？把p分解成一个个pi^ci，这样的话就保证了两两互质，CRT求解。

那怎么算C(x,y)%(pi^ci)呢？把C(x,y)转化成x!、y!和(x-y)!。

由于需要求逆元，而n!不一定与pi^ci互质，我们就需要把n!分解为k*(pi^x)，其中，k与pi互质。

对于当前的n!，我们发现可以把它整理为一些模(pi^ci)下的循环串乘上(pi^(n/pi))再乘上(n/pi)!

举个栗子，17!%(3^2) = (1*2*4*5*7*8*10*11*13*14*16*17)*(3^5)*(1*2*3*4*5)

很显然，栗子最后的那部分就是5!%3这个显然可以递归下去。

对于最前的那部分，我们可以发现，它是由一些循环节（模3^2下）组成的，且均不含有质因数3。

仔细分析，就是[1,3^2]中与质因数3互质的数。求出循环节之后就可以直接用快速幂完成。

对于中间的部分，我们收集起来，算组合数的时候统一再做一次快速幂。

本题主要的问题是处理好逆元的问题，把n!分解成k*(pi^x)，含pi的部分单独算，k与pi^ci互质，可以直接求解逆元。

Code

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>

 using namespace std;

 #define REP(i, a, b) for (int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 typedef long long LL;
 typedef pair<LL, LL> pa;
 const int maxn = 1e5;
 LL p, a[];
 LL prime[maxn+], p_cnt;
 bool isNotPrime[maxn+];
 LL p_num[], p_mod[], p_sum[], cnt;

 void prepare()
 {
     REP(i, , maxn)
     {
         if (!isNotPrime[i]) prime[++p_cnt] = i;
         REP(j, , p_cnt)
         {
             if (i*prime[j] > maxn) break ;
             isNotPrime[i*prime[j]] = ;
             if (i%prime[j] == ) break ;
         }
     }
     LL temp = p;
     REP(i, , p_cnt)
     {
         if (prime[i] > temp || temp == ) break ;
         if (temp%prime[i] == )
         {
             p_num[++cnt] = prime[i], p_mod[cnt] = , p_sum[cnt] = ;
             while (temp%prime[i] == )
                 p_mod[cnt] *= prime[i], p_sum[cnt] ++, temp /= prime[i];
         }
     }
 }

 LL power(LL x, LL y, LL MOD)
 {
     LL ret = ;
     while (y > )
     {
         if (y&) ret = (ret*x)%MOD;
         x = (x*x)%MOD;
         y >>= ;
     }
     return ret;
 }

 pa calc(int k, LL num)
 {
     if (num == ) return mp(, );
     LL x = num/p_num[k], y = num/p_mod[k];
     LL ans = ;
     if (y)
     {
         LL t_num = ;
         REP(i, , p_mod[k]-)
             if (i%p_num[k] != ) t_num = (t_num*i)%p_mod[k];
         ans = power(t_num, y, p_mod[k]);
     }
     if (num%p_mod[k] != )
     {
         REP(i, , num%p_mod[k])
             if (i%p_num[k] != ) ans = (ans*i)%p_mod[k];
     }
     pa temp = calc(k, x);
     return mp(temp.fi+x, temp.se*ans%p_mod[k]);
 }

 LL ex_gcd(LL aa, LL bb, LL &x, LL &y)
 {
     if (bb == )
     {
         x = , y = ;
         return aa;
     }
     LL ret = ex_gcd(bb, aa%bb, x, y);
     LL temp = x;
     x = y, y = temp-(aa/bb)*y;
     return ret;
 }

 LL inv(LL k, LL MOD)
 {
     LL x, y;
     ex_gcd(k, MOD, x, y);
     x = (x%MOD+MOD)%MOD;
     return x;
 }

 LL CRT()
 {
     LL ret = ;
     REP(i, , cnt)
     {
         LL Mi = p/p_mod[i];
         ret = (ret+((Mi*inv(Mi, p_mod[i]))%p*a[i])%p)%p;
     }
     ret = (ret%p+p)%p;
     return ret;
 }

 LL work(LL x, LL y)
 {
     REP(i, , cnt)
     {
         pa t1 = calc(i, x), t2 = calc(i, y), t3 = calc(i, x-y);
         a[i] = power(p_num[i], t1.fi-t2.fi-t3.fi, p_mod[i]);
         a[i] = (((a[i]*t1.se)%p_mod[i]*inv(t2.se, p_mod[i]))%p_mod[i]*inv(t3.se, p_mod[i]))%p_mod[i];
     }
     return CRT();
 }

 int main()
 {
 //    freopen("a.in", "r", stdin);
 //    freopen("a.out", "w", stdout);
     LL n, m, w[], sum = ;
     scanf("%lld %lld %lld", &p, &n, &m);
     prepare();
     REP(i, , m) scanf("%lld", &w[i]), sum += w[i];
     if (sum > n) { puts("Impossible"); return ; }
     LL ans = work(n, sum);
     REP(i, , m)
         ans = (ans*work(sum, w[i]))%p, sum -= w[i];//, printf("%lld\n", ans);
     ans = (ans+p)%p;
     printf("%lld\n", ans);
     return ;
 }