NOIP2013提高问题求解T2（关于递推与递归）

同步发表于我的洛谷博客。

NOIP2013提高问题求解2：

现有一只青蛙，初始时在n号荷叶上。当它某一时刻在k号荷叶上时，下一时刻将等概率地随机跳到1，2，……，k号荷叶之一上，直到跳到第1号荷叶为止。当n=2时，平均一共跳2次，n=3时，平均一共跳2.5次。当n等于5时，平均一共跳几次。

先将问题转为青蛙随机跳了一步以后的情况，分为5种情况，分别是落在1号、2号、3号、4号、5号荷叶上。每种情况发生的概率为1/5。

然后设f(n)为n片荷叶所需的平均次数。显然，f(1)=1。

先从简单的考虑：

当n=2：
共2种情况：落在1号或2号上。
落在1号上，问题变为求f(1)。
落在2号上，问题变为求f(2)+1。

Q：为什么要加1？

A：因为它已经跳过一次了。

Q：为什么f(1)不用？

A：因为它已经到了。

由于是求平均值，且f(1)已知，那么可列方程：

f(2)=（f(1)+1+f(2))*1/2

解得f(2)=2。

Q：为什么要把所有的相加？

A：请考虑加法原理。

然后到n=3的状态：

共3种情况：落在1号或2号或3号上。
落在1号上，问题变为求f(1)。
落在2号上，问题变为求f(2)+1。
落在3号上，问题变为求f(3)+1。

熟不熟悉？

每一个原问题都可以分成n个子问题，子问题规模变小（？？？），子问题相加即可求得原问题的答案。

有点递归的感觉。

来看看扩展到n=k的状态：

共k种情况：落在1号或2号或3号或……或k号上。
落在1号上，问题变为求f(1)。
落在2号上，问题变为求f(2)+1。
落在3号上，问题变为求f(3)+1。
……
此处省略
……
落在k号上，问题变为求f(k)+1。

可得方程f(k)=(f(1)+1+f(2)+1+f(3)+······+1+f(k))*1/k

接下来，对上面这个方程进行合并同类项：

k*f(k)=(f(1)+1+f(2)+1+f(3)+······+1+f(k))

k*f(k)=k-1+(f(1)+f(2)+f(3)+······+f(k))

(k-1)*f(k)=k-1+(f(1)+f(2)+f(3)+······+f(k-1))

f(k)=1+(f(1)+f(2)+f(3)+······+f(k-1))*1/k

至此，f(n)的递推公式就被我们推出了：

f(n)=1+(f(1)+..f(n-1))/(n-1)

这道题的难点也就在于递推公式的推出，推出递推公式，n=5神马的，都是渣渣。

好了，now，来个总结：首先我们先用递归的思想，来尝试着把问题缩小规模，规模缩小后，就可以列出关系式了。再从一般到特殊，列出一般情况下的关系式后，化简，我们发现化简后的式子的形式形如递推式，那么，我们就可以自下往上来求解了。

实际上，有时候递推和递归从本质上来说，并无差别。有些时候我们用递归的思想来考虑问题，用递推的方式来实现求解，这样可以大大减小思维难度及代码实现难度。

至于为什么递推和递归从本质上来说，并无差别。首先得搞清楚，这是对于一个能用递推求解的问题而言的。

因为任何循环都可以用递归写（只要你胆够大，不怕爆0），而一般我们实现递推无非就是循环+数组之类的了。所以，递推一定可以用递归来实现。For example，斐波那契数列。（想想动态规划吧，dfs无非就是把复杂度增加了而已）但请注意，不是所有的递归都可以用循环实现滴，比如说，回溯法。那么，可得出：递归不一定可以用递推来实现。

希望对你能有帮助，哪怕一点点，我也满足了。

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