[洛谷P4072] SDOI2016 征途

问题描述

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，\(v\times m^2\)是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出\(v\times m^2\)。

输入格式

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

输出格式

一个数，最小方差乘以 \(m^2\) 后的值 。

样例输入

5 2

1 2 5 8 6

样例输出

36

说明

对于 \(30\%\) 的数据，\(1 \le n \le 10\)。

对于 \(60\%\) 的数据，\(1 \le n \le 100\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 3000\)。

保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000 。

解析

首先，我们需要化简方差的式子，

\[\begin{align}s^2 &=\frac{\sum_{i=1}^{m}(\overline v-v_i)^2}{m}\\ &=\frac{m\overline v^2-2\overline v(v_1+v_2+...+v_m)+(v_1^2+v_2^2+...+v_m^2)}{m}\\ &=\frac{m\frac{(\sum_{i=1}^{m}v_i)^2}{m^2}-2\frac{(\sum_{i=1}^{m}v_i)^2}{m}+v_1^2+v_2^2+...+v_m^2}{m}\\\end{align}
\]

所以

\[s^2\times m^2=-(\sum_{i=1}^{m}v_i)^2+m(v_1^2+...+v_m^2)
\]

所以，我们需要把路程划分为m个部分，使\(v_1^2+...+v_m^2\)最小。这个可以用动态规划来完成。设\(f[i][j]\)表示将前i个数划分成j段的最小值。我们有如下状态转移方程：

\[f[i][j]=max(f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k])^2)
\]

然后这个转移方程可以用斜率优化。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long
#define N 3002
using namespace std;
int n,m,i,j,v[N],sum[N],f[N][N],q[N],head,tail;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
double k(int x,int i,int j)
{
	return 1.0*((f[i][x]+sum[i]*sum[i])-(f[j][x]+sum[j]*sum[j]))/(sum[i]-sum[j]);
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		v[i]=read();
		sum[i]=sum[i-1]+v[i];
		f[i][1]=sum[i]*sum[i];
	}
	for(j=2;j<=m;j++){
		head=tail=1;
		q[1]=j-1;
		for(i=j;i<=n;i++){
			while(head<tail&&k(j-1,q[head],q[head+1])<2*sum[i]) head++;
			int x=q[head];
			f[i][j]=f[x][j-1]+(sum[i]-sum[x])*(sum[i]-sum[x]);
			while(head<tail&&k(j-1,q[tail],i)<k(j-1,q[tail],q[tail-1])) tail--;
			q[++tail]=i;
		}
	}
	printf("%lld\n",m*f[n][m]-sum[n]*sum[n]);
	return 0;
}