数论 UVA 11076

这道题目的意思简单易懂说的是给你n个数（可能有重复相同的数字），列出他们所有排列的情况，再逐位相加，求出和，例如：给你1,2,3，则排列的情况为<123>, <132>, <213>, <231>, <312>, <321> ,则相加的和为1332。思路很好把握，但是需要比较扎实的数学基础，因为该问题的核心公式需要理解和记忆否则很难做出来。

这道题目的核心知识点是：多重集合排列（也叫不全相异元素全排列），这里有一个定理：设S是一个多重集合，其中有k种不同的元素，各种元素的个数分别是:n1,n2,…nk。设S中所有元素的个数是n=n1+n2+...+nk。则S的全排列数（n-排列）为：n！/(n1!*n2!*n3!*...nk!)。

证明：通过观察和分析，我们会发现S的全排列中的每一种情况都包含了S中的每一个元素，并且每个元素在每一种情况中出现的次数都等于该种元素所拥有的元素个数。因此我们可以构造这样的一个排列，n个位置，n个元素，元素中存在同类元素（也可以看做是相同元素）。首先，我们为第1类的n1个元素指定位置，那么有C（n，n1)种情况。处理完后，我们接着对第2类的n2个元素指定位置，那么有C(n-n1,n2)种情况。以此类推，我们可以得出第k类的nk个元素指定位置有C(n-n1-n2-...-nk-1,nk)种情况。根据乘法原理，排列元素的的方法数为C(n,n1)*C(n-n1,n2)*...*C(n-n1-n2-..nk-1,nk)=n!/n1!(n-n1)!*(n-n1)!/n2!(n-n1-n2)!*...化简后n!/(n1!n2!...nk!0!)=n!/(n1!n2!...nk!)。

到这里，这道题目已经完成了70%了，剩下的30%则是对问题的又一个转化。我们知道，在全排列中，任意一个数字出现在各个位置上的次数是相同的，那么求和后，每一位上的数字的和都是每种数字出现的次数乘上每种数字的值然后求和，之后只需要乘上相应数位上的10^k并且考虑好进位就能算出结果。求每一位上每种数字出现的次数，则需要通过分析来化简，因为每一位上每种数字出现的次数是相同的，这是通过分析与观察得出的，那么我们只需要求出某一位上每种数字出现的次数即可，然后算出这一位的总和，由于每一位上的总共和都相同，只不过需要解决进位和乘上的10的次方来保证数位。值得一提的是，这道题目的数据会很大，存储答案的变量最好用unsigned long long 来存储。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int jc[15],num[12],re[15];
int main()
{
int n,i;
for(jc[0]=i=1;i<15;i++)
jc[i]=jc[i-1]*i;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
{
memset(num,0,sizeof(num));
int t,m=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&t);
num[t]++;
if(num[t]==1)
re[m++]=t;
}
unsigned long long temp,sum=0;
int j;
for(i=0;i<m;i++)
{
temp=jc[num[re[i]]-1];
for(j=0;j<m;j++)//计算某一位上的和，由于这一和值在每一位上都一样，所以只需要计算出一位即可。
{
if(j==i)
continue;
temp*=jc[num[re[j]]];
}
sum+=((jc[n-1]/temp)*re[i]);
}
temp=sum;
sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
sum+=temp;
temp*=10;//将每一位的和还原到每一位上去。
}
cout<<sum<<endl;
}

return 0;
}