C语言数据结构基础学习笔记——B树

2-3树：是一种多路查找树，包含2结点和3结点两种结点，其所有叶子结点都在同一层次。

2结点：包含一个关键字和两个孩子（或没有孩子），其左孩子的值小于该结点，右孩子的值大于该结点。

3结点：包含两个关键字和三个孩子（或没有孩子），其左孩子的值小于关键字最小值，右孩子的值大于关键字最大值，中间孩子的值介于两个关键字之间。

2-3-4树：类似于2-3树，4结点包含三个关键字和四个孩子。

B树：是一种平衡的多路查找树，2-3树和2-3-4树都是B树的特例，树中各结点中最大的孩子数目称为B树的阶。

一个m阶的B树，或为空树，或为满足以下特性的m叉树：

①树中每个结点至多有m棵子树；

②各根结点不是终端结点，则至少有2课子树；

③除根结点外所有非叶节点至少有⌈m/2⌉（向上取整号）课子树；

④所有非叶结点的结构：{n,p0,k0,p1,k1,……kn,pn}；

⑤所有的叶子结点出现在同一层次，不带信息。

B树的查找：多路查找，类似于二叉树的查找。

B树的插入：在B树中找到待插入的位置后，并不能简单的将其插入到终端结点的位置，因为此时可能会导致整棵树不再满足B树中的要求。应依次把值待定的放入结点中，当结点的数超过规定的关键字数时进行分裂。

B树的删除：与插入操作类似，但需要使得删除后结点中的关键字个数>=⌈m/2⌉-1，因此将涉及结点的“合并”问题，分以下情况讨论：

①如果删除的关键字在终端结点上（最底层非叶子结点）：

　　①结点的关键字数量大于⌈m/2⌉-1，这时删除这个关键字不会破坏B树的定义要求，所以直接删除；

　　②结点内关键字数量等于⌈m/2⌉-1，并且其左右兄弟结点中存在关键字数量大于⌈m/2⌉-1的结点，则去兄弟结点中借关键字；

　　③结点内关键字数量等于⌈m/2⌉-1，并且其左右兄弟结点中不存在关键字数量大于⌈m/2⌉-1的结点，则需要进行结点合并；

②如果删除的关键字不再终端结点上（最底层非叶子结点）：需要先转换到终端结点上，再按照终端结点上的情况来删除，其转换到终端结点的方法为：

　　①存在关键字数量大于⌈m/2⌉-1结点的左子树或者右子树，在对应子树上找到该关键字的相邻关键字（就是这个大小序列中该关键字的直接前驱或者直接后继），然后将相邻关键字替换待删除的关键字；

　　②若左右子树的关键字数量均等于⌈m/2⌉-1，则将这两个左右子树结点合并，然后删除待删除关键字。

B+树：是常用于数据库和操作系统文件系统中的一种用于查找的数据结构，m阶B+树与B树的主要差异在：

①在B+树中，具有n个关键字的结点只含有n棵子树，即每个关键字对应一颗子树；而在B树中，具有n个关键字的结点含有(n+1)棵子树；

②在B+树中，每个非根结点关键字个数n的范文是⌈m/2⌉<=n<=m（根结点1<=n<=m），在B树中，每个非根结点关键字的个数n范围是⌈m/2⌉-1<=n<=m-1；

③在B+树中，叶结点包含信息，所有非叶结点只起到索引的作用，非叶结点中的每个索引项只含有对应子树的最大关键字和指向该子树的指针，不含有该关键字对应记录的存储地址；

④在B+树中，叶结点包含了全部关键字，即在非叶结点中出现的关键字也会出现在叶结点中；而在B树中，叶结点包含的关键字和其他结点包含的关键字是不重复的。