【CF1063D】Candies for Children 数学

题目大意

　　有 \(n\) 个人排成一个圈，你有 \(k\) 颗糖，你要从第 \(l\) 个人开始发糖，直到第 \(r\) 个人拿走最后一颗糖。注意这 \(n\)　个人拍成了一个圈，所以第 \(n\) 个人拿完后会轮到第 \(1\) 个人拿。第 \(i\) 个人每次拿走的糖的数量是 \(a_i\)（由你决定）。如果第 \(r\) 个人要拿两个糖且只剩下一颗糖，那么他就只会拿走这一颗。问你最多能让多少个人每次拿两颗糖。

　　\(n,k\leq {10}^{11}\)

题解

　　分 \(n\) 小和 \(n\) 大两部分考虑。

　　如果 \(n\) 比较小，就可以枚举答案，然后判断 \(l\sim r\) 这些人能不能拿走 \(k\bmod (ans+n)\) 颗糖。

　　具体来说，这些人拿走的糖的数量 \(s\) 必须满足 \(mi\leq s\leq ma\)，其中

\[\begin{align}
mi&\geq ans-n+len-1\\
mi&\geq 0\\
ma&\leq ans\\
ma&\leq len\\
\end{align}
\]

　　如果 \(n\) 比较大，那么就可以枚举最少那个人拿了几次糖 \((i)\)。

　　记 \(k_1\) 为所有人拿的糖的数量的和，\(k_2\) 为 \(l\sim r\) 的人拿的糖的数量，那么就有

\[\begin{align}
ik_1+k_2&=k\\
mi&\geq k_1-n-n+len-1+len\\
mi&\geq len\\
ma&\leq k_1-n+len\\
ma&\leq len+len\\
mi&\leq k_2\leq ma\\
ik_1+mi&\leq k\leq ik_1+ma\\
ik_1+2len+k_1-2n-1&\leq k\\
ik_1+len&\leq k\\
ik_1+len+k_1-n&\geq k\\
ik_1+2len&\geq k\\
k_1&\leq \frac{k-2len+2n+1}{i+1}\\
k_1&\leq \frac{k-len}{i}\\
k_1&\geq \frac{k-2len}{i}\\
k_1&\geq \frac{k-len+n}{i+1}
\end{align}
\]

　　然后找出这个范围内最大的 \(k_1\) 就好了。

　　时间复杂度：\(O(\sqrt k)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<iostream>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
using std::cin;
using std::cout;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
	char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
typedef long double ldb;
ll n,k;
ll l,r;
ll ans=-1;
ll len;
int main()
{
	open("d");
	cin>>n>>l>>r>>k;
	len=(r>=l?r-l+1:n-l+1+r);
	if(n<=1000000)
	{
		for(int i=n;i<=2*n;i++)
		{
			ll s=k%i;
			if(s==0)
				s=i;
			s-=len;
			ll mi=max(i-n-(n-len)-1,0ll);
			ll ma=min(len,i-n);
			if(s>=mi&&s<=ma)
				ans=max(ans,i-n);
		}
	}
	else
	{
		if(k>=len&&k<=2*len)
			ans=max(ans,k==2*len?n:n-len+k-len+1);
		for(int i=1;i<=k/n;i++)
		{
			ll s2=min((k-2*len+2*n+1)/(i+1),(k-len)/i);
			ll s1=max((k-2*len+i-1)/i,(k-len+n+i)/(i+1));
			if(s1<=s2)
				ans=max(ans,s2-n);
		}
	}
	cout<<ans<<std::endl;
	return 0;
}