【BZOJ4407】于神之怒加强版（莫比乌斯反演）

【BZOJ4407】于神之怒加强版（莫比乌斯反演）

题面

BZOJ

求：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k
\]

题解

根据惯用套路

把公约数提出来

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]
\]

再提一次

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]
\]

后面这个东西很显然可以数论分块+莫比乌斯反演做到\(O(\sqrt n)\)

前面枚举的\(d\)也可以数论分块，于是我们可以做到复杂度\(O(n)\)

但是有多组询问，这样的复杂度还不够

把后面的式子直接换成莫比乌斯反演推出来的式子

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n/d}{i}][\frac{m/d}{i}]
\]

\(d\)除在上面太丑了

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]
\]

令\(T=id\)

\[\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]
\]

把\(T\)给拎出来

\[\sum_{T=1}^n[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d})
\]

后面这玩意是一个积性函数，可以线性筛出来

前面的东西可以数论分块

所以，最后总的复杂度就是\(O(\sqrt n)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 5000000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int n,m,K;
int pri[MAX],tot;
int sum[MAX+1000],s[MAX];
bool zs[MAX+1000];
void pre()
{
	zs[1]=true;sum[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,s[tot]=fpow(i,K),sum[i]=s[tot]-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0){sum[i*pri[j]]=1ll*sum[i]*s[j]%MOD;break;}
			else sum[i*pri[j]]=1ll*sum[i]*sum[pri[j]]%MOD;
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%MOD;
}
int main()
{
	int T=read();K=read();
	pre();
	while(T--)
	{
		n=read();m=read();if(n>m)swap(n,m);
		int i=1,j;
		long long ans=0;
		while(i<=n)
		{
			j=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=1ll*(n/i)*(m/i)%MOD*(sum[j]-sum[i-1])%MOD;
			ans%=MOD;
			i=j+1;
		}
		printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
	}
	return 0;
}