Jordan标准形
一、引入
前面已经指出,一切n阶矩阵A可以分成许多相似类。今要在与A相似的全体矩阵中,找出一个较简单的矩阵来作为相似类的标准形。当然以对角矩阵作为标准形最好,可惜不是每一个矩阵都能与对角矩阵相似。因此,急需引入一种较为简单而且对于一般矩阵都可由相似变换得到。
当矩阵A能相似于某对角矩阵时,该对角矩阵就是A的一个Jordan形。而当矩阵A不能相似于对角矩阵时,它必然与一个非对角的Jordan形相似。此时的Jordan形J与对角矩阵的差别也只是在主对角线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上,Jordan标准型可以说是与A相似的矩阵中最简单的了。
Jordan标准型应用广泛。如果能够得到一个线性变换或者线性变换矩阵,那么我们可以迅速地得到线性微分方程组,特征多项式等。
二、定义
设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换,任取Vn上一个基,T在该基下的矩阵是A,T(或A)的特征多项式可分解因式为
φ(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2...(λ-λt)mt
m1+m2+...+mt=n
则Vn可分解成不变子空间的直和
Vn=N1直和N2直和...Nt
其中Nt=(x|(T-λiTi)mi=0,x属于Vn)是线性变换T-λiTi的核子空间。(有点看不清)
举个例子:
特征多项式为φ(λ)=(λ+1)2(λ-5)
则Jordan标准型为
-1 1 或 5
-1 -1 1
5 -1
三、简单的结论
(1)对于给定的矩阵A,在不计各Jordan块排列次序的意义下,A的Jordan标准型是唯一的。
(2)方阵A的Jordan标准型J是上三角矩阵,其主对角线上元素恰好是A的全部特征值。
(3)对角矩阵本社是Jordan形,它的每个对角元都是一个一阶的Jordan块。
四、定理
(1)两个同阶方阵相似的充要条件是它们的Jordan形一致。(忽略排序因素)
(2)矩阵A能与对角矩阵相似的充要条件是它的初等因子全为一次式。
(3)如果n阶矩阵A的全部特征值为λ1,λ2...λn,则矩阵Am的全部特征值恰是λ1m,λ2m...λnm。(这里,λ1,λ2...λn可以相同)
(4)设n阶矩阵A的全部特征值为λ1,λ2...λn,则对于任意多项式f(λ),矩阵A的全部特征值为f(λ1),f(λ2),...,f(λn)
注意:
最后需要指出,在许多实际问题中,复数往往没有多大意义,因此,需要在实数域R上来求标准型。
参考文献
《矩阵论》 程云鹏
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