图论&数学：最小平均值环

POJ2989：求解最小平均值环

最优化平均值的显然做法是01分数规划

给定一个带权有向图

对于这个图中的每一个环

定义这个环的价值为权值之和的平均值

对于所有的环，求出最小的平均值

这个结论怎么做的我找不到，但是显然的做法是可以找到的

由于Average=(E1+E2+…..+Ek)/K
所以Average*K=E1+E2+……+Ek
即（E1-Average）+（E2-Average）+….+ （Ek-Average）=
另外注意到上式中的等于号可以改写为小于等于，那么我们可以二分答案Ans，然后判断是否存在一组解满足（E1+E2+…..+Ek）/K>Ans,即判断
（E1- Ans）+（E2- Ans）+….+ （Ek- Ans）>
于是在二分答案后，我们把边的权值更新，问题就变成了查找图中是否存在一个正环

也就是二分答案+spfa判断正环

然后学到了，DFS的SPFA判环贼快

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define inf 0x3f3f3f3f
 #define N 700
 #define M 100010
 #define eps 1e-4
 inline int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
     return x*f;
 }
 int n,h[N],num;
 double d[N];
 char s[];
 bool vis[N];
 struct edge{
     int to,next,val;
 }data[M];
 inline void add(int x,int y,int val){
     data[++num].to=y;data[num].next=h[x];h[x]=num;data[num].val=val;
 }
 inline int calc(char a,char b){return (a-'a')*+b-'a'+;}
 bool dfs(int x,double mid){//判正环
     vis[x]=;
     for(int i=h[x];i;i=data[i].next){
         int y=data[i].to;
         if(d[x]+data[i].val-mid>d[y]){
             d[y]=d[x]+data[i].val-mid;
             if(vis[y]||dfs(y,mid)){vis[x]=;return ;}
         }
     }vis[x]=;return ;
 }
 inline bool jud(double mid){
     memset(d,,sizeof(d));
     for(int i=;i<=*;++i) if(dfs(i,mid)) return ;
     return ;
 }
 int main(){
 //  freopen("a.in","r",stdin);
     while(){
         n=read();if(!n) break;num=;memset(h,,sizeof(h));
         while(n--){
             scanf("%s",s+);int len=strlen(s+);
             add(calc(s[],s[]),calc(s[len-],s[len]),len);
         }
         double l=,r=;
         while(r-l>=eps){
             double mid=(r+l)/;
             if(jud(mid)) l=mid;
             else r=mid;
         }
         if(l==) puts("No solution.");
         else printf("%.2f\n",l);
     }
     return ;
 }