sqrt()平方根计算函数的实现2——牛顿迭代法

牛顿迭代法：

牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

牛顿迭代公式：

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0））做曲线y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

牛顿迭代法求平方根：

求平方根在牛顿迭代公式中，f(x)=x^2-a，则f'(x）=2x。以上的牛顿迭代公式变为：x(n+1）=x(n）-(x(n)^2-a)/2x，即(x(n)+a/x(n))/2。我们随便猜一个数r，假设r是f(x)=0的根，经过几次牛顿迭代公式后（以上的公式）所得到的x值即是f(x)=0的根或者其非常精确的近似值。

例如：我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：
      ( 4  + 2/4 ) / 2 = 2.25
      ( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
      ( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
      ( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

盗图一张以作说明，图片来自http://www.2cto.com/kf/201206/137256.html。

..

程序实现：

#include<iostream>

#include<math.h>

using namespace std;

double sqrtNT(double a,double b)

{

double x,last;

x=b;

if(a<=0)

{

return a;

}

while(x*x!=a&&(abs(last-x)>0.0000001))

{

last=x;

x=(x+a/x)/2;

}

return x;

}

int main()

{

cout<<sqrtNT(93273,5)<<endl;

return 0;

}