【洛谷】【USACO】P1118 数字三角形

题目描述

FJ and his cows enjoy playing a mental game. They write down the numbers from 1 to N (1 <= N <= 10) in a certain order and then sum adjacent numbers to produce a new list with one fewer number. They repeat this until only a single number is left. For example,
one instance of the game (when N=4) might go like this:

    3   1   2   4
      4   3   6
        7   9
         16

Behind FJ's back, the cows have started playing a more difficult game, in which they try to determine the starting sequence from only the final total and the number N. Unfortunately, the game is a bit above FJ's mental arithmetic capabilities.

Write a program to help FJ play the game and keep up with the cows.

有这么一个游戏：

写出一个1～N的排列a[i]，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：

3 1 2 4

4 3 6

7 916最后得到16这样一个数字。

现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道N，知道最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a[i]，为1～N的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。

[color=red]管理员注：本题描述有误，这里字典序指的是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

而不是1，10，11，12，2，3，4，5，6，7，8，9[/color]

输入输出格式

输入格式：

两个正整数n，sum。

输出格式：

输出包括1行，为字典序最小的那个答案。

当无解的时候，请什么也不输出。（好奇葩啊）

输入输出样例

输入样例#1：

4 16

输出样例#1：

3 1 2 4

说明

对于40%的数据，n≤7；

对于80%的数据，n≤10；

对于100%的数据，n≤12，sum≤12345。

10分写法：啥也不输出（雾

60分解法：直接搜索，爆掉时间

100分解法：

我们可以采取一定的方法进行剪枝。显然可以发现，每一个数对于最终结果的贡献是一定的（通俗的说，譬如有序列a,b,c,d,那么最终结果为a*q+b*w+c*r+d*t，其中q、w、e、r是与层数有关的值，当层数一定时，q、w、e、r一定）。

对于原题，我们可以得到一个递推式：（我这里采用文字描述，严谨的数学语言的话会很麻烦）

当前点对结果的贡献系数=左下角的贡献系数+右下角的贡献系数

原因很简单，请大家先仔细思考，然后再往下看。

我们设当前点贡献系数为k，已知当前点值为w，左下角点值为w1+w，贡献系数为k1，右下角点值为w2+w，贡献系数为k2。

可以得到：w1*k1+w2*k2+w*(k1+k2)=w总

可以看出，w的系数为k1+k2,即当前点的贡献系数等于左下角贡献系数+右上角贡献系数。

但要想得到贡献系数必须倒着推，原题三角形倒过来，我们不难想到杨辉三角。



下面是程序，希望大家仔细研读，以便对杨辉三角这个神奇的东西有更深刻的理解！



#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<string>

#include<cstring>



const int MAXX=15;



int num[MAXX];

int delta[MAXX][MAXX];



bool b[MAXX];



int n,sum;

bool ok,zhi;

void dfs(int step,int summ)

{

    if(step-1==n)

    {

        if(summ==sum)

        {

            for(int i=1;i<=n;i++)

            {

                printf("%d ",num[i]);

            }

            ok=true;

        }

        return;

    }

    if(summ>sum)return;

     if(ok)return;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        if(!b[i])

        {

            num[step]=i;

            b[i]=true;

            dfs(step+1,summ+i*delta[n][step]);

            b[i]=false;

        }

    }

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&n,&sum);

    for(int i=1;i<=n+1;i++)delta[i][1]=1;

    for(int i=2;i<=n;i++)

    {

        for(int j=2;j<=n;j++)

        {

            delta[i][j]=delta[i-1][j]+delta[i-1][j-1];

        }

    }

    dfs(1,0);

    return 0;

}

另：可以将dfs的第二个参数sum设为全局变量，并将dfs递归部分改为：

for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        if(!b[i])

        {

            num[step]=i;

            b[i]=true;

            summ+=i*delta[n][step];

            dfs(step+1);

            summ-=i*delta[n][step];

            b[i]=false;

        }

    }

}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>

const int MAXX=15;

int num[MAXX];
int delta[MAXX][MAXX];

bool b[MAXX];

int n,sum;
bool ok,zhi;
void dfs(int step,int summ)
{
    if(step-1==n)
    {
        if(summ==sum)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                printf("%d ",num[i]);
            }
            ok=true;
        }
        return;
    }
    if(summ>sum)return;
     if(ok)return;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            num[step]=i;
            b[i]=true;
            dfs(step+1,summ+i*delta[n][step]);
            b[i]=false;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&sum);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)delta[i][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=2;j<=n;j++)
        {
            delta[i][j]=delta[i-1][j]+delta[i-1][j-1];
        }
    }
    dfs(1,0);
    return 0;
}
另：可以将dfs的第二个参数sum设为全局变量，并将dfs递归部分改为：
for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            num[step]=i;
            b[i]=true;
            summ+=i*delta[n][step];
            dfs(step+1);
            summ-=i*delta[n][step];
            b[i]=false;
        }
    }
}

附加暴力写法（60分）：

#include<cstdio>
const int MAXX=15;
int delta[MAXX][MAXX];
bool b[MAXX];
int n,sum;
bool ok;
void dfs(int step)
{
    if(step-1==n)
    {
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n+1-i;j++)
            {
                delta[i][j]=delta[i-1][j]+delta[i-1][j+1];
                if(delta[i][j]>sum)return;
            }
        }
        if(delta[n][1]==sum)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                printf("%d ",delta[1][i]);
            }
            ok=true;
        }
        return;
    }
    if(ok)return;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            delta[1][step]=i;
            b[i]=true;
            dfs(step+1);
            b[i]=false;
        }
    }

}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&sum);
    for(int i=1 ; i <= n ; i++)
        delta[1][i] = 1;
    dfs(1);
    return 0;
}