Chapter 4 图

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1-   图的存储结构

无向图:对称

有向图:……

2-   图的遍历

1   深度优先搜索(DFS)

类似于二叉树的先序遍历

2   广度优先搜索(BFS)

类似于二叉树的层序遍历

3-   最小(代价)生成树(针对无向图)MST

1   Prim算法  O(|V2|)

只与顶点数有关,与边无关

2   Kruskal算法  O(|E|log|E|)

只与边数有关,与顶点数无关

//什么样的图最小生成树唯一?图中所有权值不相等。

4-   最短路径

1   Dijkstra  O(|V2|)

单源最短路径

l  要找出所有节点的最短路径,需要对每一个结点用Dijkstra O(|V3|)

l  边上有负权值,不适用

2   Floyd  O(|V3|)

求解任意一对顶点间的最短距离

l  允许带有负权值的边,但不允许有负权值边组成的回路

5-   拓扑排序  O(|V|+|E|)

1   AOV

以顶点表示活动,以边表示活动的先后次序,且没有回路的有向图

2   对有向无环图的拓扑排序

可能不唯一:如果有多个入度为0的顶点,可任选一个输出

6-   关键路径

1   AOE

活动在边上的网,与AOV网相比

     相同点:都是有向无环图

     不同点:AOE网边表示活动、有权值,表示活动持续时间。顶点表示事件,事件是图中新活动开始旧活动结束的标志。

AOV网边表示活动之间的相互关系,无权值,顶点表示活动。

l  只存在一个入度为0的点称为源点

求关键路径的步骤:

1   拓扑排序

2   事件Vk的最早发生时间Ve(k)

V1->Vi  max

3   时间Vk的最迟发生时间Vl(k)

从后向前算 min = 后-max

4   活动ai的最早开始时间e(i)

边上首结点的Ve(k)

5   活动ai的最迟开始时间l(i)

边上尾结点的Vl(k)-ai

6    d = l(i) - e(i)

//可以通过加快那些在所有关键路径上的关键活动来缩短工期

//关键路径不唯一

注:

1-   邻接矩阵的空间复杂度O(|V2|)

2-   邻接表—方便找出所有邻边(不唯一)

邻接矩阵—给定的两个顶点是否存在边

3-   十字链表—有向图的链式存储

容易求得顶点的入度和出度

图的十字链表表示不唯一,但一个十字链表可以唯一确定一个图。

4-   邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构

5-   BFS借助一个辅助队列,空间复杂度是O(|V|)

邻接表O(|V|+|E|),邻接矩阵O(|V2|)

6-   DFS借助一个栈,空间复杂度是O(|V|)

邻接表O(|V|+|E|),邻接矩阵O(|V2|)

7-   当各边权值相等时,广度优先算法可以解决单源最短路径问题。

8-   Prim  O(|V2|)

Kruskal  O(|E|log|E|)

Dijkstra  O(|V2|)

Floyd  O(|V3|)

拓扑  O(|V|+|E|)

9-   最短路径一定是简单路径

10- 可以判断有向图是否有环:深度优先搜索,拓扑排序

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