Luogu P2484 [SDOI2011]打地鼠(模拟+前缀和)

P2484 [SDOI2011]打地鼠

题意

题目描述

打地鼠是这样的一个游戏：地面上有一些地鼠洞，地鼠们会不时从洞里探出头来很短时间后又缩回洞中。玩家的目标是在地鼠伸出头时，用锤子砸其头部，砸到的地鼠越多分数也就越高。

游戏中的锤子每次只能打一只地鼠，如果多只地鼠同时探出头，玩家只能通过多次挥舞锤子的方式打掉所有的地鼠。你认为这锤子太没用了，所以你改装了锤子，增加了锤子与地面的接触面积，使其每次可以击打一片区域。如果我们把地面看做\(m\times n\)的方阵，其每个元素都代表一个地鼠洞，那么锤子可以覆盖\(R\times C\)区域内的所有地鼠洞。但是改装后的锤子有一个缺点：每次挥舞锤子时，对于这的区域中的所有地洞，锤子会打掉恰好一只地鼠。也就是说锤子覆盖的区域中，每个地洞必须至少有\(1\)只地鼠，且如果某个地洞中地鼠的个数大于\(1\)，那么这个地洞只会有\(1\)只地鼠被打掉，因此每次挥舞锤子时，恰好有\(R\times C\)只地鼠被打掉。由于锤子的内部结构过于精密，因此在游戏过程中你不能旋转锤子（即不能互换\(R\)和\(C\)）。

你可以任意更改锤子的规格（即你可以任意规定\(R\)和\(C\)的大小），但是改装锤子的工作只能在打地鼠前进行（即你不可以打掉一部分地鼠后，再改变锤子的规格）。你的任务是求出要想打掉所有的地鼠，至少需要挥舞锤子的次数。

\(Hint\)：由于你可以把锤子的大小设置为\(1\times 1\)，因此本题总是有解的。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个正整数\(m\)和\(n\)；

下面\(m\)行每行\(n\)个正整数描述地图，每个数字表示相应位置的地洞中地鼠的数量。

输出格式：

输出一个整数，表示最少的挥舞次数。

输入输出样例

输入样例#1：

3 3
1 2 1
2 4 2
1 2 1

输出样例#1：

4

说明

【样例说明】

使用\(2\times 2\)的锤子，分别在左上、左下、右上、右下挥舞一次。

【数据规模和约定】

对于\(30\%\)的数据，\(m,n\leq 5\)；

对于\(60\%\)的数据，\(m,n\leq 30\)；

对于\(100\%\)的数据，\(1\leq m,n\leq 100\)，其他数据不小于\(0\)，不大于\(10^5\)。

思路

枚举锤子大小，然后判断大小的锤子能否达成要求。

记\(a[i][j]\)为\((i,j)\)位置上的地鼠个数，\(b[i][j]\)为在以\((i,j)\)为左上角点的矩形上挥舞锤子的次数，\(s[i][j]\)为在\((1,1)\)到\((i,j)\)范围内挥舞锤子次数的综合，也就是\(b\)数组的二维前缀和。

判断大小为\(x\times y\)的锤子是否能达成目的。当前几行的锤子挥舞次数已经被统计出来之后，\((i,j)\)位置上已经被打死了的地鼠个数为：

\[s[max\{ 0,i-x\} ][j]+s[i][max\{ 0,j-y \}]-s[max\{ 0,i-x\} ][max\{ 0,j-y\} ]
\]

如果这个数量已经超过了该点上应该被杀死的地鼠个数，那么这样大小的锤子不能达成目的。

同时，横坐标在\([m-y+2,m]\)范围内的点或纵坐标在\([n-x+2,n]\)范围内的点的\(b\)值应该为零，因为锤子不能锤出去了。

枚举锤子大小是\(O(nm)\)的，一次判断是\(O(nm)\)的，所以总的时间复杂度为\(O(n^2m^2)\)，可以通过此题。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,sum,ans=LLONG_MAX,a[105][105],s[105][105],b[105][105];
LL read()
{
    LL re=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
bool judge(LL x,LL y)
{
    memset(s,0,sizeof s);
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        for(LL j=1;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
            LL tmp=s[i][j]-s[max(LL(0),i-x)][j]-s[i][max(LL(0),j-y)]+s[max(LL(0),i-x)][max(LL(0),j-y)];
            if(tmp>a[i][j]) return false;
            b[i][j]=a[i][j]-tmp;
            s[i][j]+=b[i][j];
        }
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        for(LL j=m-y+2;j<=m;j++)
            if(b[i][j]) return false;
    for(LL i=n-x+2;i<=n;i++)
        for(LL j=1;j<=m;j++)
            if(b[i][j]) return false;
    return true;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        for(LL j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=read(),sum+=a[i][j];
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        for(LL j=1;j<=m;j++)
            if(judge(i,j)) ans=min(ans,sum/(i*j));
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}