动态规划专题（五）—

前言

斜率优化$DP$是难倒我很久的一个算法，我花了很长时间都难以理解。后来，经过无数次的研究加以对一些例题的理解，总算啃下了这根硬骨头。

基本式子

斜率优化$DP$的式子略有些复杂，大致可以表示成这样：

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}(A(j)-B(j)*S(i)+C(i))\]

其中$A(j)$和$B(j)$是两个只与$j$有关的函数，$S(i)$和$C(i)$是两个只与$i$有关的函数，式子中的$min$其实也可以替换成$max$，但这里以$min$为例。

不难发现，如果只有$A(j)$和$C(i)$两项，就是单调队列优化$DP$的基本式子了。

但是，由于式子中含有$B(j)*S(i)$这一项既与$i$相关，又与$j$相关的式子，就不能直接用单调队列，而要进行一定转化了。

考虑将$A(j)$移到等号左边，并将$f_i$移到等号右边，则原式可以转化成这样：

\[A(j)=B(j)*S(i)+(f_i-C(i))\]

注意，在$i$不变的时候，我们可以将只与$i$有关的项看成常数项。

于是，这个函数就可以看作一条直线，其中$S(i)$就相当于这条直线的斜率，而$f_i-C(i)$就相当于这条直线的截距。

而$C(i)$是固定的，因此，如果要让$f_i$最小，则应让$f_i-C(i)$最小，对应到图像中就是让截距最小。

那么应如何让截距最小呢？

大致思路

首先，我们可以想象有一条斜率固定的直线（~~我太懒，不想画图... ...~~），然后图上有若干个点，现在要用这条直线从图的最下方往上慢慢移动，直至碰到第一个点，而这个点就是我们要找的最优点。

则不难发现，如果连续的三个点呈上凸状，则无论该直线斜率取多少，碰到的第一个点都不可能是中间这个点。

换句话说，就是中间这个点对答案没有任何贡献了。

于是就有一个策略：当我们要加入一个新的点时，比较当前点与前一个插入的点$S_1$、前一个插入的点与倒数第二个插入的点的斜率$S_2$，如果$S_1\le S_2$，则可将前一个插入的点弹出。

重复此操作，直至$S_1>S_2$或图上只剩一个点，然后将当前点插入。

如何求最优解

但是，这样一来，我们好像还是没能求出最优解。

此时又有两种操作方式：在凸包上二分或单调队列维护最优解。

对于某些问题，它可以确保决策单调性，即一个点如果当前不是最优解，则以后都不可能是最优解了。这样的问题可以直接用单调队列来维护最优解。

但有些问题却不一定满足这种性质，此时就需要在凸包上二分最优解了，但依然需要用单调队列来维护点集。

所以，如果你不会单调队列，最好赶紧去研究一下，然后再学习斜率优化$DP$。

几道例题

第一道例题： 【BZOJ2726】[SDOI2012] 任务安排

听说是入门题？洛谷上的弱化版可以直接单调队列维护，但是$BZOJ$上存在负数，需要在凸包上二分。

第二道例题： 【CF311B】Cats Transport

一眼看上去像是$WQS$二分，其实题意转换后可以直接斜率优化。

第三道例题： 【洛谷3648】[APIO2014] 序列分割

一开始觉得是区间$DP$，结果一看数据范围，推了波性质，才发现其实可以用斜率优化$DP$来做。