【二分图】HEOI2012 朋友圈

题目内容

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在很久很久以前，曾经有两个国家和睦相处，无忧无虑的生活着。

一年一度的评比大会开始了，作为和平的两国，一个朋友圈数量最多的永远都是最值得他人的尊敬，所以现在就是需要你求朋友圈的最大数目。两个国家看成是AB两国，现在是两个国家的描述：

\(A\)国：每个人都有一个友善值，当两个\(A\)国人的友善值\(a,b\)，如果\(a\text{ xor}\text{ }b \bmod 2=1\)，那么这两个人都是朋友，否则不是；

\(B\)国：每个人都有一个友善值，当两个\(B\)国人的友善值\(a,b\)，如果\(a\text{ xor}\text{ }b \bmod 2=0\)或者(\(a\text{ or}\text{ }b\))化成二进制有奇数个\(1\)，那么两个人是朋友，否则不是朋友；

\(A、B\)两国之间的人也有可能是朋友，数据中将会给出\(A、B\)之间“朋友”的情况。 对于朋友的定义，关系是是双向的。 在AB两国，朋友圈的定义：一个朋友圈集合 \(S\)，满足\(S\subset A \cup B\)，对于所有的\(i,j \in S\)，\(i\)和\(j\)是朋友。

由于落后的古代，没有电脑这个也就成了每年最大的难题，而你能帮他们求出最大朋友圈的人数吗？

输入格式

第一行一个整数\(T(T\leq 6)\),表示输入数据总数。

对于每组数据：

第一行三个整数 \(A,B,M\)，分别表示\(A\)国人数，\(B\)国人数，\(AB\)两国之间是朋友的对数。

第二行\(A\)个数\(a_i\)​，表示A国第\(i\)个人的友善值。

第三行\(B\)个数\(b_i\)，表示B国第\(i\)个人的友善值。

第\(4\)到第\(3+M\)行，每行两个整数\(x,y\)表示\(A\)国的第\(x\)个人和\(B\)国第\(y\)个人是朋友。

输出格式

输出\(T\)行，每行输出一个整数，表示最大朋友圈的数目。

数据范围

友善值为int类型正整数。

有两类数据：

第一类：\(|A| \leq 200, |B| \leq 200\)；

第二类：\(|A| \leq 10, |B| \leq 3000\)。

样例输入

1

2 4 7

1 2

2 6 5 4

1 1

1 2

1 3

2 1

2 2

2 3

2 4

样例输出

5

最大朋友圈包含\(A\)国第\(1,2\)人和\(B\)国第\(1,2,3\)人。

思路

先吐槽：因为按位异或和按位与的优先级调这个破题一下午，谢谢有被恶心到。

此题一看就可知道是一个求最大团的问题，然而一般无向图的求最大团是一个\(NPC\)问题，况且看到其数据范围就可以弃了。所以我们要分析一下其中的性质。

先看\(B\)国，可以看出其为一些奇数点和偶数点，况且其中存在一些连边。是二分图既视感。不过二分图是两边的部点不存在连边，所以我们需要建一个关于\(B\)国的补图。同时补图的最大独立集就是原图的最大团，于是\(B\)国直接建补图跑最大独立集即可。

再看\(A\)国，其要求可理解为选出的人要求两两奇偶不同，所以\(A\)国只能选出\(0、1、2\)人，再看\(B\)国中和这几个人有关系的跑最大独立集，我们直接暴力把所有情况取个\(\max\)即可，记得最大独立集\(=n-\)最大匹配数。

然后你快乐的连边之后一顿非常巨的操作跑匈牙利写完了发现\(T\)了几个点。（然后并不会\(Dinic\)），所以这时候就需要时间戳优化匈牙利。

匈牙利中占了时间效率很大的一块就是memset，每次都要memset理论每次都是\(O(n)\)的效率（当然肯定要小一点），那么每匹配一次都是\(O(n^2m)\)的，这个题要求多次匹配岂不是直接挂了。

所以时间戳优化出现了！其实根本没那么高深，设一个时间戳为\(\text{Clock}\)，原来的布尔类型数组就改为整数类型，转化如下：

\[\text{vis}[v]=1\rightarrow \text{vis}[v]=\text{Clock}
\]

\[\text{vis}[v]=0\rightarrow \text{vis}[v]\not=\text{Clock}
\]

每次Clock++，即可\(O(1)\)初始化。

然后就愉快的跑就完事了才不，这个毒瘤出题人居然卡常（可能只有我/kk），跑匈牙利的函数里的那个循环必须加register才能过（大数据居然快了\(\text{200ms}\)），否则卡线\(TLE\)。

其他没啥了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3000+10;
const int maxm=2e6+10;
int totA,totB,M,ans=-1;
int a[maxn],b[maxn];
bool g[maxn][maxn];

struct Edge{
	int from,to,nxt;
}e[maxm];

inline int read(){
	int x=0,fopt=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')fopt=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;
		ch=getchar();
	}
	return x*fopt;
}

int head[maxm],cnt;
inline void add(int u,int v){
	e[++cnt].from=u;
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int Time1,Time2;//时间戳，一个用于vis数组，一个用于标记朋友关系
int vis[maxn],match[maxn],flag[maxn];
bool dfs(int u){
	for(register int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(vis[v]!=Time1&&flag[v]==Time2){
			vis[v]=Time1;
			if(!match[v]||dfs(match[v])){
				match[v]=u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

inline int Count(int x){//数二进制1的个数
	int res=0;
	while(x){
		if(x&1)res++;
		x>>=1;
	}
	return res;
}

inline void SolveA(){
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=totB;i++)
		if(b[i]&1){
			Time1++;
			if(dfs(i))sum++;
		}//选0个，直接对B跑匹配
	ans=max(ans,totB-sum);
	for(int i=1;i<=totA;i++){
		int tot=0;sum=0;Time2++;
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(int j=1;j<=totB;j++)
			if(g[i][j+totA]){
				flag[j]=Time2;tot++;//是朋友则flag[j]=1
			}
		for(int j=1;j<=totB;j++)
			if((b[j]&1)&&flag[j]==Time2){
				Time1++;
				if(dfs(j))sum++;
			}
		ans=max(ans,tot-sum+1);//选1个，记得加上选的那个1
	}
	for(int i=1;i<=totA;i++)
		for(int j=i+1;j<=totA;j++){
			if((a[i]^a[j])&1){//记得打括号！调了一下午/kk
				int tot=0;sum=0;Time2++;
				memset(match,0,sizeof(match));
				for(int k=1;k<=totB;k++)
					if(g[i][k+totA]&&g[j][k+totA]){
						flag[k]=Time2;tot++;
					}
				for(int k=1;k<=totB;k++)
					if((b[k]&1)&&flag[k]==Time2){
						Time1++;
						if(dfs(k))sum++;
					}
				ans=max(ans,tot-sum+2);//同理，选2个
			}
		}
}

inline void SolveB(){
	for(int i=1;i<=totB;i++)
		if(b[i]&1){//建补图，即取条件不符合的
			for(int j=1;j<=totB;j++){
				if(!(b[j]&1)&&!(Count(b[i]|b[j])&1))
					add(i,j);
			}
		}
}

int main(){
	int T=read();
	while(T--){
		totA=read(),totB=read(),M=read();
		for(int i=1;i<=totA;i++)
			a[i]=read();
		for(int i=1;i<=totB;i++)
			b[i]=read();
		SolveB();
		for(int i=1;i<=M;i++){
			int u=read(),v=read();
			g[u][v+totA]=g[v+totA][u]=1;//记录朋友关系
		}
		SolveA();
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}